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27 de março de 2012  P 1

Eletromagnetismo

Nome:  n\underline{o} USP

1– (4.0) Um condutor cilíndrico de raio R , carregado com densidade superficial de carga − σ, está envolto por uma casca cilíndrica de raio interno R e raio externo 2R de permissividade ϵ_{1} e a região r ≥ 2R tem outro material de permissividade ϵ_{2} .

• (0.5) a) Mostre que o vetor densidade de fluxo elétrico é D⃗ = − \frac{σR}{r} a⃗_{r}.

• (1.0) a) Determine os vetores D⃗ , E⃗ e P⃗ na região 2R > r > R.

• (1.0) b) Determine os vetores D⃗ , E⃗ e P⃗ na região r > 2R.

• (1.0) c) Determine a densidade de carga de polarização na superície r = 2R entre os dois dielétricos.

• (0.5) d) Determine a carga total por unidade de comprimento do condutor.

2– (3.0) Uma placa dielétrica de constante dielétrica k_{2} está imersa em um meio cuja constante dielétrica é k_{1}, onde existe um campo elétrico E⃗_{1} , que forma um ângulo θ com o eixo x, como mostra a figura. Determine:

• (1.5) a) os vetores D⃗ , E⃗ e P⃗ dentro da placa, em função de k_{1}, k_{2} , E_{1} e θ;

• (1.5) b) a densidade de carga de polarização resultante na superfície da placa.

3– (3.0) Um toróide de secção retangular de lados R e a, com N espiras, tem raio interno R e raio externo 2R . O interior do toróide está preenchido com duas cascas cilíndricas superpostas de raio interno R e raio externo 2R, alturas d_{1} e d_{2} ( d_{1} + d_{2} = a ) e permeabilidades magnética μ_{1} e μ_{2} respectivamente. A corrente que circula no toróide é i_{o}.

• (0.5) a) Mostre que o módulo do vetor intensidade magnética de um toróide é \frac{N i_{o}}{2π r} .

Indique a condição de contorno usada e determine:

• (1.5) b) os vetores H⃗ , B⃗ e M⃗ em cada meio magnético;

• (1.0) c) a corrente de magnetização na casca cilíndrica de permeabilidade magnética μ_{1}.

Formulário ∮ D⃗.d⃗S = q ∮ P⃗ .d⃗S = − q_{pol} ∮ H⃗.d⃗l = i ∮ M⃗.d⃗l = i_{m} D⃗ = ϵ_{o} E⃗ + P⃗ D⃗ = ϵ E⃗ σ_{p} = P⃗ .n⃗ B⃗ = μ_{o} ( H⃗ + M⃗) B⃗ = μ H⃗ D_{1n} = D_{2n} E_{1t} = E_{2t} B_{1n} = B_{2n} H_{1t} = H_{2t}