\documentclass[dvips,11pt]{article}
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\begin{document}

\Prova{1}{27 de mar\c{c}o de 2012}

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\vspace{2mm}



\begin{QstsFig}\ (4.0) Um condutor cil\'{\i}ndrico de raio $\bf \,R\,$, carregado com densidade superficial de carga $\,\bf  -\,\sigma $, est\'{a} 
envolto por  uma casca cil\'{\i}ndrica  de raio interno $\,\bf  R\,$ e raio externo $\,\bf  2R\,$ de permissividade 
$\,\bf  \epsilon _{1}\,$  e a regi\~{a}o  $\,\bf  r\geq 2R\,$ tem outro material  de permissividade  $\,\bf  \epsilon _{2}\,$.

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) Mostre que o vetor densidade de fluxo el\'{e}trico \'{e} $\vec {\bf D}\,=\,-\,\frac {\bf \sigma R}{\bf r}\;\vec {\bf a}_{\bf r} $.
\item{(1.0)}  a) Determine os vetores $\,\vec {\bf  D}\,$, $\,\vec {\bf  E}\,$  e $\,\vec {\bf  P}\,$ na regi\~{a}o $\,\bf  2R>r>R$.
\item{(1.0)}  b) Determine os vetores $\,\vec {\bf  D}\,$, $\,\vec {\bf  E}\,$  e $\,\vec {\bf  P}\,$  na regi\~{a}o $\,\bf  r>2R$.
\item{(1.0)}  c) Determine a densidade de carga de polariza\c{c}\~{a}o na super\'{\i}cie $\,\bf  r\,=\,2R\,$ entre os dois diel\'{e}tricos.
\item{(0.5)}  d) Determine a carga total por unidade de comprimento do condutor.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

\begin{QstcFig}{q2p1.eps}\ (3.0) Uma placa diel\'{e}trica de constante  diel\'{e}trica $\,\bf k_{2}\,$  est\'{a} imersa  em um meio cuja 
constante  diel\'{e}trica \'{e} $\,\bf k_{1}$, onde existe um campo el\'{e}trico  $\,\vec {\bf E}_{1}\,$, que forma um \^{a}ngulo 
 $\,\bf \theta \,$ com o eixo  $\,\bf x$, como mostra a figura. Determine:
\begin{itemize}
\item{(1.5)}  a) os vetores $\,\vec {\bf  D}\,$, $\,\vec {\bf  E}\,$ e $\,\vec {\bf  P}\,$ dentro da placa, em fun\c{c}\~{a}o de   $\,\bf k_{1}$, $\,\bf k_{2}\,$, 
$\,\bf E_{1}\,$ e $\,\bf \theta $;
\item{(1.5)}  b) a densidade de carga de polariza\c{c}\~{a}o resultante  na superf\'{\i}cie da placa. 
\end{itemize}
\end{QstcFig}

\newpage

\begin{QstcFig}{q3p1-02.eps}\ (3.0) Um tor\'{o}ide de sec\c{c}\~{a}o retangular de lados $\,\bf R\,$ e $\,\bf a$, com $\,\bf N\,$ espiras, tem raio interno $\,\bf R\,$ 
e raio externo $\,\bf 2R\,$. O interior do tor\'{o}ide est\'{a} preenchido com duas cascas cil\'{\i}ndricas superpostas de raio interno $\,\bf R\,$ 
e raio externo $\,\bf 2R$, alturas $\,\bf d_{1}\,$ e $\,\bf d_{2}$ ($\,\bf d_{1}\,+\,\bf d_{2}\,=\bf a\,$) e permeabilidades  magn\'{e}tica  
$\,\bf \mu_{1}\,$ e $\,\bf \mu_{2}$ respectivamente. A corrente que circula no tor\'{o}ide \'{e} $\,\bf i_{o}$.

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) Mostre que o m\'{o}dulo do vetor intensidade magn\'{e}tica de um tor\'{o}ide \'{e} {\large $\,\bf \frac {N\,i_{o}}{2\pi \,r}$}.
\end{itemize}

\noindent Indique a condi\c{c}\~{a}o de contorno usada e determine:

\begin{itemize}
\item{(1.5)}  b) os vetores $\,\vec {\bf  H}\,$, $\,\vec {\bf  B}\,$ e $\,\vec {\bf  M}\,$ em cada meio magn\'{e}tico;
\item{(1.0)}  c) a corrente de magnetiza\c{c}\~{a}o na casca cil\'{\i}ndrica de permeabilidade magn\'{e}tica $\,\bf \mu_{1}$. 
\end{itemize}
\end{QstcFig}

%\end{document}

\vspace{17.5cm}




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Formul\'{a}rio

\vspace{1mm}

\noindent $\oint \vec {D}.\vec {dS}\,=\,q$ \ \ \ \ \ \ \ $\oint \vec {P}.\vec {dS}\,=\,-\,q_{pol}$ \ \ \ \ \ \ \ $\oint \vec {H}.\vec {dl}\,=\,i$ 
\ \ \ \ \ \ \ $\oint \vec {M}.\vec {dl}\,=\,i_{m}$ \ \ \ \ \ \ \ $\vec  {D}\,=\,\epsilon _{o}\,\vec  {E}\,+\,\vec  {P}$ \ \ \ \ \ \ \ 
$\vec  {D}\,=\,\epsilon \,\vec {E}$
 
\noindent $\sigma _{p}\,=\,\vec {P}.\vec {n}  \ \ \ \ \ \ \ \vec  {B}\,=\,\mu _{o}\,({\,\vec  {H}\,+\,\vec  {M}})$ \ \ \ \ \ \ \ $\vec  {B}\,=\,\mu \,\vec {H}  
\ \ \ \ \ \ \ D_{1n}\,=\,D_{2n} \ \ \ \ \ \ \   E_{1t}\,=\,E_{2t} \ \ \ \ \ \ \  B_{1n }\,=\,B_{2n}  \ \ \ \ \ \ \ H_{1t}\,=\,H_{2t}$

\end{document}



\vspace{3mm}

\noindent  $\nabla .\vec {D}\,=\,\rho $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$\nabla \times \,\vec  {H}\,=\,\vec {J}\,+\,\frac {\partial \vec {D}}{\partial  t} $

\vspace{3mm}

\noindent  $\nabla .{\vec {D}\,=\,\frac {\partial D_{x}}{\partial  x}\,+\,\frac {\partial D_{y}}{\partial y}\,
+\,\frac  {\partial D_{z}}{\partial z}$

\vspace{3mm}

\noindent  $\nabla .{\vec {D}\,=\,\frac {1}{r^2}\frac {\partial }{\partial  r}(r^2D_{r})\,+\,
\frac {1}{rsen\theta }\frac {\partial}{\partial \theta }(sen\theta D_{\theta })\,
+\,\frac {1}{rsen\theta }\frac {\partial D_{\phi }}{\partial \phi }$


\vspace{3mm}

\noindent  $\nabla  \times \vec {H}\,=\,(\frac {\partial  H_{z}}{\partial  y}\, - \,\frac {\partial H_{y}}{\partial  z})\vec {i}\,+ \,(
\frac {\partial H_{x}}{\partial  z}\, -\,\frac {\partial H_{z}}{\partial  x})\,\vec {j}+
 \,(\frac {\partial H_{y}}{\partial  x}\,- \,\frac {\partial H_{x}}{\partial  y})\,\vec {k} $

\vspace{3mm}


$\vec {k}\,\times \,\vec {E}\,=\,\omega \vec {B}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \vec {S}\,=\,\frac {1}{\mu _{o}}\,\vec {E}\,\times \,\vec {B}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  P\,=\,f_{a}\,\frac {<S>}{c}\,+\,2f_{r}\,\frac {<S>}{c}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ E_{o}\,=\,cB_{o} $

\vspace{3mm}

$ <p>\,=\,f_{a}\,\frac  {<U>}{c} \,+\,2\,f_{r}\,\frac  {<U>}{c} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  P_{ot}\,=\, \int \vec {S}.\vec {dA}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  I\,=\,I_{o}\,cos^{2}\,\theta $

\vspace{4mm}

Interfer\^{e}ncia

$m\lambda \,=\,d\,sen\,\theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (m\,+\,\frac{1}{2})\lambda \,=\,d\,sen\,\theta \ \ \ \ \ m\,=\,0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 .....

\vspace{4mm}

I\,=\,I_{o}\, cos^{2}\,(\frac  {\pi d\,sen\,\theta }{\lambda })$

\vspace{4mm}

Difra\c{c}\~{a}o

$sen\,\theta\,=\,1.22\,\frac {\lambda }{a}$

\vspace{4mm}

$m\lambda \,=\,a\,sen\,\theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (m\,+\,\frac{1}{2})\lambda \,=\,a\,sen\,\theta \ \ \ \ \
m\,=\,0, \pm 1, \pm 2, \pm  3 ..... $

\vspace{4mm}

$I\,=\,I_{o}\, (\frac {sen\,\frac {\pi a\,sen\,\theta }{\lambda }}{ \frac {\pi a\,sen\,\theta }{\lambda }})^{2}        $

\vspace{4mm}

R\^{e}de de difra\c{c}\~{a}o

\vspace{4mm}

$ m\lambda \,=\,d\,sen\,\theta \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (m\,+\,\frac{1}{2})\lambda \,=\,d\,sen\,\theta \ \ \ \ \ m\,=\,0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 ..... $

\vspace{4mm}

$I\,=\,I_{o}\, cos^{2}\,(\frac  {\pi d\,sen\,\theta }{\lambda })(\frac {sen\,\frac {\pi a\,sen\,\theta }{\lambda }}{ \frac {\pi a\,sen\,\theta }{\lambda }})^{2} $

\vspace{4mm}

$R\.=\,\frac {\lambda }{\lambda _{2}\,-\,\lambda _{1}}\,=\,\frac {\Delta \lambda }{\lambda } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  R\,=\,m\,N   $

}


\vspace{3mm}

\noindent $\, $
\noindent $\, $
\noindent $\, $

}

\end{document}

&\newpage

&\begin{QstsFig}\ (3.0) Um tor\'{o}ide de sec\c{c}\~{a}o retangular de lados $\,\bf a\,$ e $\,\bf b$, com $\,\bf N\,$ espiras, tem raio interno $\,\bf R\,$ 
&e raio externo $\,\bf 2R\,$. O interior do tor\'{o}ide est\'{a} preenchido com duas semi-cascas cil\'{\i}ndricas cotiguas de permeabilidade 
&magn\'{e}tica $\,\bf \mu_{1}\,$ e $\,\bf \mu_{2}$ respectivamente. A corrente que circula no tor\'{o}ide \'{e} $\,\bf i_{o}$.

&\begin{itemize}
&\item{(0.5)}  a) Mostre que o m\'{o}dulo do vetor intensidade magn\'{e}tica de um tor\'{o}ide \'{e} {\large $\,\bf \frac {N\,i_{o}}{2\pi \,r}$}.
&\end{itemize}

&\noindent Indique a condi\c{c}\~{a}o de contorno usada e determine:

&\begin{itemize}
&\item{(1.5)}  b) os vetores $\,\vec {\bf  H}\,$, $\,\vec {\bf  B}\,$ e $\,\vec {\bf  M}\,$ em cada semi-casca;
&\item{(1.0)}  c) a corrente de magnetiza\c{c}\~{a}o na semi-casca de permeabilidade magn\'{e}tica $\,\bf \mu_{1}$. 
&\end{itemize}
&\end{QstsFig}







