FMT0458

24 de outubro de 2006  P 2

Complementos de Mecânica Clássica

Nome : No. USP :

1– Um disco de raio a, localizado no plano xy, está girando com velocidade angular Ω em torno do eixo z. Um corpo de massa m é lançado do centro do disco, com velocidade ṽ_{o} = αj̃ + βk̃ em relação ao disco. O corpo está no campo gravitacional ( perpendicular ao plano do disco ). Determine :

• (0.5) a) a equação do movimento do corpo no referencial do disco;

• (1.0) b) as componentes da velocidade v′_{x}(t) , v′_{y}(t) e v′_{z}(t) do corpo no referencial do disco em um instante qualquer;

• (1.5) c) as coordenadas x′(t) , y′(t) e z′(t) do corpo, no referencial do disco em um instante qualquer; 2– Um sistema é descrito pala equação logística cujo gráfico é mostrado na figura.

• (1.0) a) Determine se o sistema é ou não caótico.

3– Um sistema é descrito pala equação logística x_{n+1} = αx_{n} ( 1 − x_{n}). Para um certo valor de α o sistema apresenta diferentes ciclos que darão diferentes valores para x_{n}. Um desses valores é x_{n} = 0.40. Determine :

• (0.75) a) quantos ciclos terá esse sistema e os respectivos valores de x_{n};

• (0.75) b) o valor de α e do coeficiente de Lyapunov, nesse caso.

4– (1.0) Determine a dimensão fractal do fractal da figura.

5– Um pêndulo é constutuído por um fio de comprimento l e uma bolinha de massa m suspensa nesse fio. O ponto de fixação P do pêndulo movese em linha reta com velocidade constante v_{o}, conforme mostra a figura. Para t = 0 o ponto P estava em x = 0 .

• (1.0) a) Obtenha a energia cinética e potencial para a massa m .

• (0.5) b) Existem vínculos nesse problema ? Se sim, quais ? Quantos graus de liberdade existem ? Justifique suas respostas.

• (0.5) c) Escreva a lagrangeana do sistema.

• (1.5) d) Deternime as equações do movimento.

Questão 5