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FMT0458

14 de outubro de 2008  P 2

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

1– Um corpo de massa m é lançado no campo gravitacional, com velocidade v⃗_{o} em relação ao referencial S , que gira com velocidade angular ω, como mostra a figura. No instante do lançamento o corpo tem coordenadas (−a, 2a, o) no referencial S. Desprezando a força centrifuga, determine :

• (0.5) a) a velocidade de lançamento v⃗_{o} do corpo no referencial inercial S′ que coincidia com S no instante t = 0;

• (1.0) b) a velocidade v(t) do corpo no referencial S ;

• (1.5) c) as coordenadas x(t) , y(t) e z(t) do corpo no re-

ferencial S.

Questão 1

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2– Um homem segura um bloco de massa m, que fica em repouso sobre um plano inclinado de um ângulo θ em relação a horizontal, a uma altura y_{o} do chão. O plano inclinado encontra-se preso no chão de um vagão de trem, que esta com velocidade v_{o} constante. Em um dado instante o trem freia, mantendo uma aceleração constante a_{o} e o homem larga o bloco. Considere os eixos x e y do referencial S sobre o plano inclinado e determine neste referencial :

• (1.0) a) a condição para que o bloco, durante a freada, se mantenha deslizando sobre o plano inclinado.

• (1.5) b) as coordenadas x(t) e y(t) do bloco e o tempo que ele leva até atingir o chão.

. 3– A curva abaixo representa um sistema cuja a equação logística é

x_{n+1} = α x_{n} ( 1 − x_{n} ). Determine: • (1.0) a) se o sistema é caótico;

• (0.5) b) o seu coeficiente de Lyapunov. Questão 3

.

4– (0.75) a) Determine exatamente a dimensão fractal do objeto abaixo constituído de quatro triângulos isósceles de base a e altura 2a.

• (0.75) b) Determine a dimensão fractal da figura abaixo.

5– A figura mostra o diagrama de bifurcação de um sistema não linear para o parâmetro α. Explique suscintamente :

• (0.75) a) para os valores de α = 3.5 e α = 3.9 o que acontece com o sistema;

• (0.75) b) como deve ser a secção de Poincaré para os valores de α do item (a).

Questão 5

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Formulário

v⃗ = v⃗′ − V⃗  v⃗ = v⃗′ − ω⃗ × r⃗
a⃗ = a⃗′ − A⃗  a⃗ = a⃗′ − 2 ω⃗ × v⃗ − ω⃗ × ω⃗ × r⃗