\documentclass[dvips,11pt]{article}
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\usepackage[dvips]{graphicx,color}

\begin{document}
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\Prova{2}{14 de outubro  de 2008}

\hrulefill

\vspace{2mm}

{\large
\begin{QstcFig}{08Q01p2a.eps}\  Um corpo  de massa $\,\bf  m\,$  \'{e} lan\c{c}ado  no campo gravitacional, com
velocidade $\, \vec {v}_{o}\,$ em rela\c{c}\~{a}o ao referencial $\,\bf  S\,$, que gira com velocidade angular
$\,\bf  \omega $, como mostra a figura. No instante do lan\c{c}amento o corpo tem coordenadas $\,\bf  ( -a, 2a, o )\,$
no referencial $\,\bf  S$. Desprezando a for\c{c}a centrifuga, determine  :

\begin{itemize}
\item {(0.5)}  a) a velocidade de lan\c{c}amento $\,\vec {v}_{o}\,$ do corpo no referencial inercial $\,\bf  S'\,$ que
coincidia com $\,\bf  S\,$ no instante  $\,\bf  t=0$;
\item {(1.0)}  b) a velocidade $\,\bf  v(t)\,$ do corpo no referencial $\,\bf  S$ ;
\item {(1.5)}  c) as coordenadas $\,\bf  x(t)\,$, $\,\bf  y(t)\,$ e $\,\bf  z(t)\,$ do corpo no referencial $\,\bf  S$.
\end{itemize}
\end{QstcFig}

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\begin{QstsFig}\  Um homem segura um bloco de massa  $\,\bf  m$, que fica em repouso  sobre um plano
inclinado de um \^{a}ngulo $\,\bf  \theta \,$ em  rela\c{c}\~{a}o a horizontal, a uma altura $\,\bf  y_{o}\,$ do ch\~{a}o.
O plano inclinado  encontra-se  preso no ch\~{a}o de um vag\~{a}o de trem, que esta com velocidade
$\,\bf  v_{o}\,$ constante. Em um dado instante o trem freia, mantendo uma acelera\c{c}\~{a}o  constante  
$\,\bf  a_{o}\,$  e  o homem larga  o bloco. Considere os eixos $\,\bf  x\,$ e $\, y\,$  do  referencial $\,\bf  S\,$ sobre 
o  plano inclinado e determine neste  referencial :

 \begin{itemize}
\item{(1.0)}  a)  a condi\c{c}\~{a}o para que o bloco, durante  a freada, se mantenha deslizando sobre
o plano inclinado.
\item{(1.5)}  b) as coordenadas  $\,\bf  x(t)\,$ e  $\,\bf  y(t)\,$  do bloco e o tempo que ele leva at\'{e} atingir o
ch\~{a}o.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

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\begin{QstcFig}{Lyapunov.eps}\  A curva abaixo representa um sistema cuja a equa\c{c}\~{a}o log\'{\i}stica  \'{e}
$\bf x_{n+1}\,=\,\alpha\,x_{n}\,(\,1\,-\,x_{n}\,)$. Determine:

\begin{itemize}
\item {(1.0)}  a) se o sistema \'{e} ca\'{o}tico;
\item {(0.5)}  b) o seu coeficiente de Lyapunov.
\end{itemize}
\end{QstcFig}

\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{alfa_3.5_15x15a.eps}
\end{center}
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\begin{QstsFig}\  (0.75) a) Determine exatamente a dimens\~{a}o fractal do objeto abaixo constitu\'{i}do de quatro
tri\^{a}ngulos is\'{o}sceles de base   $\,\bf  a\,$ e altura  $\,\bf  2a$.

\vspace {3mm}

\includegraphics[width=4cm]{tria.eps}

\vspace{7mm}

\begin{itemize}
\item {(0.75)}  b) Determine a dimens\~{a}o fractal da figura abaixo.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\includegraphics[width=8cm]{frac.eps}

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\begin{QstcFig}{08Q05p2.eps}\ A figura mostra o diagrama de bifurca\c{c}\~{a}o de um sistema n\~{a}o linear 
para o par\^{a}metro $\,\bf  \alpha$. Explique suscintamente :

 \begin{itemize}
\item{(0.75)}  a) para os valores de  $\,\bf  \alpha \,=\,3.5\,$ e $\,\bf  \alpha \,=\,3.9\,$ o que acontece com o sistema;
\item{(0.75)}  b) como deve ser a sec\c{c}\~{a}o de Poincar\'{e} para os valores de $\,\bf  \alpha \,$ do item (a).

\end{itemize}
\end{QstcFig}}

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{\Large Formul\'{a}rio}

\vspace{5mm}

{\Large $ \vec {v}\,=\,\vec {v'}\,-\,\vec {V}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  $ \vec {v}\,=\,\vec {v'}\,-\,\vec {\omega}\,\times \,\vec {r}$

\vspace{3mm}

$ \vec {a}\,=\,\vec {a'}\,-\,\vec {A}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
$  \vec {a}\,=\,\vec {a'}\,-\,2\,\vec {\omega }\,\times \,\vec {v}\,-\,\vec {\omega }\,\times \,\vec {\omega }\,\times \,\vec {r}$}
\end{document}









