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FMT0458

27 de janeiro de 2009  P rec

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

1– Um corpo de massa m e velocidade inicial v_{o} está descendo, no campo gravitacional, uma rampa inclinada de um ângulo α com a horizontal. A fôrça de atrito entre o corpo e a superfície da rampa é proporcional à velocidade (tipo mkv ).

• (0.5) a) Faça um desenho indicando as fôrças e escreva a equação do movimento.

• (1.0) b) Determine a expressão para a velocidade v(t) do corpo.

• (0.5) c) Determine a velocidade terminal do corpo.

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2– Sobre o raio AB de um disco de raio R um bloquinho de massa m está se deslocando, com velocidade v⃗_{o} ( em relação ao disco ), a partir do ponto B, como mostra a figura. O disco gira com velocidade angular ω. Determine :

• (1.0) a) no referencial (X, Y, Z) que gira com o disco, cada força que age no bloquinho;

• (0.5) b) a velocidade v⃗′ do bloquinho em relação ao referencial inercial (X′, Y′, Z′) com origem no centro do disco ( ponto A).

. 3– Determine :

• (0.5) a) a dimensão fractal de um semi-disco;

• (0.5) b) para que valores conerge o sistema descrito pelos gráficos abaixo, quando o coeficiente de Lyapunov for igual a − 2, 5.

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4– Um corpo de massa m desliza, no campo gravitacional, em um plano inclinado de um ângulo α com a horizontal, conforne mostra a figura. Adote o sistema de eixo (X, Y) da figura e determine :

• (0.5) a) a lagrangeana do sistema e a função do vínculo;

• (1.0) b) as equações do movimento;

• (1.0) c) as fôrças do vínculo.

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5– O potencial efetivo de um corpo de massa m é dado por

V_{ef} (r) = \frac{L^{2}}{2mr^{2}} + mgr

• (1.5) a) Faça um esboço do potencial efetivo V_{ef} (r) e determine os possíveis movimentos do corpo.

• (0.5) b) Obtenha a expressão para o raio da órbita circular. Sòmente para o item (c) suponha que m = 1 kg, L = \sqrt{80} kg.m^{2}.rad/s e g = 10 m/s^{2} e calcule:

• (1.0) c) Determine o valor do raio, da energia e a velocidade angular da órbita circular.