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FMT0458

02 de dezembro de 2008  P sub

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

1– Um bloco de massa m é lançado com velocidade v_{o} em uma superfície cuja fôrça de atrito é

proporcional a velocidade, tipo mkv. Determine : • (1.0) a) a expressão para a velocidade v(t) do bloco;

• (1.5) b) a distância percorrida pelo bloco até parar.

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2– (1.5) Um avião tem massa m e está viajando na direção norte, com velocidade v_{o} a uma altura h da superfície da Terra (raio da Terra é R), como mostra a figura. Quando o avião estiver a uma latitude θ, determine, no referencial (X,Y,Z) fixo na Terra, a fôrça centrifuga e a fôrça de Coriolis no avião.

Questão 2

. 3– (1.0) Um sistema é descrito pela equação logística x_{n+1} = αx_{n} ( 1 − x_{n+1}). Para um certo valor de

α a evolução do sistema é dada pelo gráfico abaixo. Considere 0.2 o valor inicial de x_{n}. • (0.5) a) O sistema é caótico ? Qual o valor de α ?

• (0.5) b) Faça um esboço da secção de Poincaré para este caso.

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4– Um corpo de massa m é lançado no interior de uma superfície cilíndrica de raio a, com velocidade v_{o} perpendicular ao eixo do cilindro. O eixo da superfície cilíndrica está na direção da aceleração da gravidade.

• (0.5) a) Quantos graus de liberdade tem o sistema ?

• (1.0) b) Obtenha a(s) a(s) equação(ões) do movimento.

• (1.0) c) Obtenha a(s) a(s) fôrça(s) do vínculo.

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5– Um corpo de massa m tem energia potencial dada por U(r) = − \frac{k}{r}. Quando o corpo passa na

posição r = a sua velocidade é v_{o}

• (0.5) a) Escreva a lagrangeana para a corpo e mostre que sua energia mecânica é E = \frac{1}{2} mṙ^{2} + \frac{1}{2} m \frac{a^{2}v_{o}^{2}}{r^{2}} − \frac{k}{r} e que seu potencial efetivo é U_{ef}(r) = \frac{1}{2} m \frac{a^{2}v_{o}^{2}}{r^{2}} − \frac{k}{r}

• (1.0) b) Qual o raio da órbita cirular estável, sua energia mecânica e sua velocidade angular. Suponha que m = 1 kg, k = 4 joules.m^{2}, l = \sqrt{2} joules.kg.m^{2} e a energia mecânica do corpo E = − 3 joules, determine:

• (1.0) c) as distâncias de máxima e mínima aproximação e a excentricidade da órbita. Dado : \frac{α}{r} = 1 + ϵ cosθ, α = \frac{l^{2}}{mk}