\documentclass[dvips,11pt]{article}
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\begin{document}
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\Prova{sub}{02 de dezembro  de 2008}

\hrulefill

\vspace{2mm}

{\large
\begin{QstsFig}\  Um bloco  de massa $\,\bf  m\,$   \'{e} lan\c{c}ado com  velocidade $\,\bf  v_{o}\,$ em uma superf\'{\i}cie
cuja  f\^{o}r\c{c}a de atrito \'{e} proporcional a velocidade, tipo $\,\bf  mkv$. Determine :

\begin{itemize}
\item {(1.0)}  a)  a express\~{a}o para a velocidade $\,\bf  v(t)\,$  do bloco;
\item {(1.5)}  b)  a dist\^{a}ncia percorrida pelo bloco  at\'{e}  parar.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

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\begin{QstcFig}{08Q2su.eps}\ (1.5)  Um avi\~{a}o tem massa $\,\bf  m\,$ e est\'{a} viajando na dire\c{c}\~{a}o norte,
com velocidade $\,\bf  v_{o}\,$ a uma altura $\,\bf  h\,$ da superf\'{\i}cie da Terra (raio da Terra \'{e}  $\,\bf  R$), como
mostra a figura. Quando o avi\~{a}o estiver a uma latitude $\,\bf  \theta $, determine, no referencial (X,Y,Z) fixo na
Terra, a f\^{o}r\c{c}a  centrifuga e a f\^{o}r\c{c}a de Coriolis no avi\~{a}o.
\end{QstcFig}

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\begin{QstsFig}\ (1.0)  Um sistema \'{e} descrito pela equa\c{c}\~{a}o log\'{\i}stica
$\bf  x_{n+1}\,=\,\alpha  x_{n}\,(\,1\,-\,x_{n+1})$. Para um certo valor de $\,\bf  \alpha \,$ a evolu\c{c}\~{a}o do sistema
\'{e} dada pelo gr\'{a}fico abaixo. Considere $\,\bf  0.2\,$ o valor inicial de $\,x_{n}$.

\begin{itemize}
\item {(0.5)}  a) O sistema \'{e} ca\'{o}tico ? Qual o valor de $\,\bf  \alpha $ ?
\item {(0.5)}  b) Fa\c{c}a um esbo\c{c}o da sec\c{c}\~{a}o  de Poincar\'{e} para este caso.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{alfa_3.5.eps} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{center}
\end{QstsFig}


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\begin{QstsFig}\ Um corpo de  massa  $\,\bf  m\,$  \'{e}  lan\c{c}ado no interior de uma superf\'{\i}cie cil\'{\i}ndrica de
raio $\,\bf  a$, com velocidade  $\,\bf  v_{o}\,$ perpendicular ao  eixo do cilindro. O eixo da superf\'{\i}cie cil\'{\i}ndrica
est\'{a} na  dire\c{c}\~{a}o da acelera\c{c}\~{a}o da gravidade.

\begin{itemize}
 \item {(0.5)}  a) Quantos graus de liberdade tem o sistema ?
 \item {(1.0)}  b) Obtenha a(s) a(s) equa\c{c}\~{a}o(\~{o}es) do movimento.
 \item {(1.0)}  c) Obtenha a(s) a(s) f\^{o}r\c{c}a(s) do v\'{\i}nculo.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

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\begin{QstsFig}\  Um corpo de  massa  $\,\bf  m\,$ tem energia potencial dada por
${\large \,\bf  U(r)\,=\,-\,\frac {k }{r}}$.  Quando o corpo passa na posi\c{c}\~{a}o $\,\bf  r\,=\,a\,$ sua velocidade \'{e} 
$\,\bf  v_{o}\,$

 \begin{itemize}
 \item {(0.5)}  a)  Escreva a lagrangeana para a corpo e mostre que sua energia mec\^{a}nica \'{e}

\begin{center}
 ${\LARGE \bf  E\,=\,\frac{1}{2}\,m\dot {r}^2\,+\,\frac {1}{2}\,m\,\frac  {a^2v_{o}^2 }{r^2}\,-\,\frac {k }{r}} $  e  que seu
 potencial efetivo   \'{e}   $\,{\LARGE  \bf  U_{ef}(r)\,=\,\frac {1}{2}\,m\, \frac  {a^2v_{o}^2 }{r^2}}\,-\,\frac {k }{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  $
\end{center}

\item {(1.0)}  b) Qual o raio da \'{o}rbita cirular est\'{a}vel, sua energia mec\^{a}nica e sua velocidade  angular.
\end{itemize}

\noindent  Suponha  que  $\,\bf  m\,=\,1\,kg$,  $\,\bf  k\,=\,4\,joules.m^2$,  $\,\bf  l\,=\,\sqrt {2}\,joules.kg.m^2$ e a  energia
mec\^{a}nica do corpo   $\,\bf  E\,=\,-\,3\, joules$, determine:

\begin{itemize}
\item {(1.0)}  c) as dist\^{a}ncias de m\'{a}xima e m\'{\i}nima aproxima\c{c}\~{a}o e a excentricidade da \'{o}rbita.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\noindent   Dado : $\frac {\alpha }{r}\,=\,1\,+\,\epsilon \,cos\theta $, $\alpha \,=\,\frac {l^2}{mk}$
}
\end{document}









