FMT0458

27 de outubro de 2009  P 2

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

1– (2.5) Um avião situado a uma altura h_{o} da superfície da Terra, na latitude θ, lança um foguete com velocidade v_{o} em relação a Terra, paralela ao eixo X, como mostra a figura. Adote o sistema de coordenadas (X, Y, Z) da figura, fixo na Terra, e determine :

• (1.0) a) as componentes da velocidade v_{x}(t), v_{y}(t) e v_{z}(t) do foguete;

• (1.0) b) as coordenadas x(t), y(t) e z(t) do foguete;

• (0.5) c) a velocidade v_{o} para que quando o foguete atingir a posição z = 0 seu desvio seja nulo.

Questão 1 ‘ 2– (1.0) Um sistema obebece a equação logística representada na figura abaixo. Considere o valor inicial x_{o} = 0.9 e verifique se o sistema é caótico ou não ?

3– (1.0) a) Determine exatamente a dimensão fractal de um casca cilíindrica de raio externo R , raio interno R/2 e altura R.

• (1.0) b) Determine a dimensão fractal da figura abaixo.

4– (1.5) A figura mostra o diagrama de bifurcação de um sistema não linear para o parâmetro α. Explique suscintamente :

• (0.5) a) para os valores de α = 3.5 e α = 3.9 o que acontece com o sistema;

• (0.5) b) como deve ser a secção de Poincaré para os valores de α do item (a);

• (0.5) c) determine o coeficiente de Lyapunov para os valores de α do item (a).

5– (3.0) Um partícula de massa m é lançado no interior de uma superfície cilíndrica de raio R com

velocidade angular ω_{o} k̃. • (0.5) a) Existe algum vínculo no sistema? Quantos graus de liberdade tem a partícula?

• (1.0) b) Obtenha a lagrangeana para a partícula.

• (0.5) b) Existe(m) grandeza(s) que se conserva(m)? Para o caso afirmativo escreva a(s) sua(s) respectiva(s) expressão(ões).

• (1.0) c) Obtenha a(s) equação(ções) do movimento.