\documentclass[dvips,11pt]{article}
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\begin{document}

\Prova{2}{27 de outubro de 2009}

\hrulefill

\vspace{2mm}

{\large
\begin{QstcFig}{Q1p2-09.eps}\ (2.5)  Um avi\~{a}o situado a uma altura  $\,\bf  h_{o}\,$ da superf\'{\i}cie da Terra, na
latitude  $\,\bf  \theta $, lan\c{c}a um foguete com velocidade   $\,\bf  v_{o}\,$ em rela\c{c}\~{a}o a Terra,  paralela ao
eixo X, como mostra  a figura.   Adote o sistema de coordenadas (X, Y, Z) da figura,  fixo na Terra,  e determine :

 \begin{itemize}
\item{(1.0)}  a) as componentes da velocidade $\,v_{x}(t)$, $\,v_{y}(t)\,$ e $\,v_{z}(t)\,$  do foguete;
\item{(1.0)}  b) as coordenadas $\,x(t)$, $\,y(t)\,$ e $\,z(t)\,$ do foguete;
\item{(0.5)}  c) a velocidade $\,\bf  v_{o}\,$ para que quando o foguete atingir a posi\c{c}\~{a}o $\,\bf  z\,=\,0\,$ seu
desvio seja nulo.
\end{itemize}
\end{QstcFig}

\newpage
`
 \begin{QstsFig}\ (1.0) Um sistema obebece a equa\c{c}\~{a}o log\'{\i}stica representada na figura abaixo.  Considere
  o valor inicial $\,\bf  x_{o}\,=\,0.9\,$ e verifique se o  sistema \'{e}  ca\'{o}tico ou n\~{a}o ?

 \vspace{1cm}

\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{Q2p20-09.eps}
\end{center}
\end{QstsFig}

\newpage


\begin{QstsFig}\  (1.0) a) Determine exatamente a dimens\~{a}o fractal de um casca cil\'{\i}indrica de raio externo
$\,\bf  R\,$, raio interno$\,\bf  R/2\,$  e altura $\,\bf  R$.

\vspace {5mm}

\noindent \begin{minipage}[t]{8.0cm}
\begin{itemize}
\item {(1.0)}  b) Determine a dimens\~{a}o fractal da figura abaixo.
\end{itemize}

\noindent \includegraphics[width=9cm]{fractal.eps}
\end{minipage}
\end{QstsFig}



\vspace {5mm}

\begin{QstsFig}\ (1.5) A figura mostra o diagrama de bifurca\c{c}\~{a}o de um sistema n\~{a}o linear
para o par\^{a}metro $\,\bf  \alpha$. Explique suscintamente :

\includegraphics[width=9.5cm]{Q4p2a-09.eps}  \includegraphics[width=9.5cm]{Q4p2-09.eps}

 \begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) para os valores de  $\,\bf  \alpha \,=\,3.5\,$ e $\,\bf  \alpha \,=\,3.9\,$ o que acontece com o sistema;
\item{(0.5)}  b) como deve ser a sec\c{c}\~{a}o de Poincar\'{e} para os valores de $\,\bf  \alpha \,$ do item (a);
\item{(0.5)}  c) determine o coeficiente de Lyapunov para os valores de $\,\bf  \alpha \,$ do item (a).
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

\begin{QstsFig}\ (3.0) Um  part\'{\i}cula  de massa  $\,\bf  m\,$ \'{e} lan\c{c}ado no interior de uma superf\'{\i}cie
cil\'{\i}ndrica de raio  $\,\bf  R\,$ com velocidade angular $\,\bf   \omega  _{o}\,\vec {k}$.

\begin{itemize}
\item {(0.5)}   a) Existe algum v\'{\i}nculo no sistema? Quantos graus de liberdade tem a part\'{\i}cula?
\item {(1.0)}   b) Obtenha a lagrangeana para a part\'{\i}cula.
\item {(0.5)}   b) Existe(m)  grandeza(s) que se conserva(m)? Para o caso afirmativo   escreva a(s) sua(s) respectiva(s)
express\~{a}o(\~{o}es).
\item {(1.0)}   c) Obtenha a(s) equa\c{c}\~{a}o(\c{c}\~{o}es) do movimento.
\end{itemize}
\end{QstsFig}}

\end{document}
\begin{QstsFig}\(3.0) Um p\^{e}ndulo de massa  $\,\bf  m\,$ e comprimento    $\,\bf  l\,$ est\'{a} preso a un anel 
( considere sem massa ) que se desloca com acelera\c{c}\~{a}o $\,\bf  \alpha \,$ no eixo $\,\bf  X\,$, horizontal  
superf\'{\i}cie da Terra. Determine :

begin{itemize}
\item {(1.0)}   a) quantos graus de liberdade tem a part\'{\i}cula e sua lagrangeana;
\item {(1.0)}   b) a(s) grandeza(s) que se conserva(m) e  escreva a(s) sua(s) respectiva(s) express\~{a}o(\~{o}es).
\item {(1.0)}   c) a(s) equa\c{c}\~{a}o(\c{c}\~{o}es) do movimento.
\end{itemize}
\end{QstsFig}}



\newpage

\begin{QstsFig}\ (2.0) Uma part\'{\i}cula  de massa $\,\bf  m\,$ est\'{a}  se movimentando no espa\c{c}o
com  energia potencial dada por  $\,\bf  U(r , \phi ) \,=\,U_{o}\,r^{2}\, tg\phi \,$. Adote coordenadas esf\'{e}ricas
e determine :

\begin{itemize}
\item {(1.0)}   a) a lagrangeana da part\'{\i}cula;
\item {(1.0)}   b) a(s) grandeza(s) que se conserva(m) e  escreva a(s) sua(s) respectiva(s) express\~{a}o(\~{o}es).
\end{itemize}
\end{QstsFig}}







