FMT0458

03 de dezembro de 2009  P 3

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

1– (4.0) Uma esfera de massa m e raio R ( momento de inércia I = \frac{2}{5}mR^{2} ) está prêsa em uma das extremidades de uma mola de constante elástica k, de tal forma que a bola pode rolar na horizontal sem escorregar em um plano. A outra extremidade da mola está fixa. Determine :

• (1.0) a) a lagrangeana do sistema e a função do vínculo;

• (1.5) b) as equações do movimento e a frequência de oscilação da esfera;

• (1.5) c) λ e as fôças do vínculo.

2– (3.5) Um corpo de massa unitária se movimenta sob a ação de uma fôrça central e seu potencial

efetivo é U_{ef} = \frac{1}{r^{2}} − \frac{4}{r} + 1. Determine : • (0.5) a) o momento angular do corpo;

• (1.0) b) os possíveis movimentos do corpo, fazendo o gráfico de U_{ef};

• (1.0) c) o raio e a energia da órbita circular;

• (1.0) d) para energia mecânica E = − 2 a distância de máxima e mínina aproximação.

3– (2.5) Um satélite de massa m está numa orbita elíptica em torno da Terra ( massa M e raio R). A sua distância de máxima aproximação é 2R e, nesse ponto, sua velocidade é v_{o}. Observação tôdas as distâncias são medidas a partir do centro da Terra, considerada esférica.

• (1.0) a) Determine a massa reduzida, o momento angular, a energia mecânica e a excentricidade da órbita do satélite.

Deseja-se corrigir sua órbita para uma órbita circular de raio 2R .

• (1.5) c) Determine o novo valor do momento angular e energia mecânica para esta órbita circular.

α = \frac{l^{2}}{μk}, \frac{α}{r} = 1 + ϵcosθ e ϵ = \sqrt{1 + \frac{2El^{2}}{μk^{2}}}