\documentclass[dvips,11pt]{article}
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\begin{document}

\Prova{3}{03 de dezembro de 2009}

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\vspace{2mm}

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\begin{QstsFig}\ (4.0)  Uma esfera  de massa  $\,\bf  m\,$ e raio  $\,\bf  R\,$  ( momento de in\'{e}rcia
$\,\bf  I\;=\;\frac {2}{5}mR^{2}\,$) est\'{a} pr\^{e}sa  em uma das extremidades de uma mola de constante el\'{a}stica
$\,\bf  k$, de tal forma que a bola pode rolar na horizontal sem escorregar em um plano. A outra extremidade da mola
est\'{a} fixa. Determine :

 \begin{itemize}
\item{(1.0)}  a) a lagrangeana do sistema e a fun\c{c}\~{a}o do v\'{\i}nculo;
\item{(1.5)}  b) as equa\c{c}\~{o}es do movimento e a frequ\^{e}ncia de oscila\c{c}\~{a}o da esfera;
\item{(1.5)}  c) $\,\bf  \lambda \,$ e as f\^{o}\c{c}as do  v\'{\i}nculo.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

\begin{QstsFig}\ (3.5)  Um corpo de massa unit\'{a}ria se movimenta sob a a\c{c}\~{a}o de uma f\^{o}r\c{c}a central e seu
potencial efetivo \'{e}  $\,\bf  U_{ef}\;=\;\frac {1}{r^{2}}\;-\;\frac {4}{r}\;+\;1$. Determine :

\begin{itemize}
\item  {(0.5)}  a) o momento angular do corpo;
\item  {(1.0)}  b) os poss\'{\i}veis movimentos do corpo, fazendo o gr\'{a}fico de $\,\bf  U_{ef}$;
\item  {(1.0)}  c)  o raio e a energia da \'{o}rbita circular;
\item  {(1.0)}  d)  para energia mec\^{a}nica $\,\bf  E\;=\;-\;2\;$ a dist\^{a}ncia de m\'{a}xima e m\'{\i}nina
aproxima\c{c}\~{a}o.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

\begin{QstsFig}\ (2.5) Um sat\'{e}lite de massa $\,\bf  m\,$ est\'{a}  numa orbita el\'{\i}ptica   em torno da Terra 
( massa $\,\bf  M\;$ e raio  $\,\bf  R$). A sua dist\^{a}ncia de m\'{a}xima aproxima\c{c}\~{a}o  \'{e}   $\,\bf 2R\;$ e, 
nesse ponto, sua  velocidade \'{e} $\,\bf  v_{o}$. Observa\c{c}\~{a}o t\^{o}das as dist\^{a}ncias s\~{a}o medidas a
partir do centro da Terra, considerada esf\'{e}rica.

 \begin{itemize}
\item{(1.0)}  a)  Determine a massa reduzida, o momento angular, a energia mec\^{a}nica e a excentricidade da \'{o}rbita do sat\'{e}lite.
\end{itemize}

Deseja-se  corrigir sua \'{o}rbita para uma \'{o}rbita circular de raio $\,\bf  2R\;$.

 \begin{itemize}
\item{(1.5)}  c)  Determine o novo valor do momento angular e energia mec\^{a}nica para esta \'{o}rbita circular.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\noindent  $\alpha \;=\;\frac {l^{2}}{\mu k }$, \;$\frac {\alpha }{r}\;=\;1\;+\;\epsilon cos \theta $ e
$\;\epsilon \;=\;\sqrt {\;1+\;\frac {2El^{2}}{\mu k^{2}}} $}

\end{document}


