\documentclass[dvips,11pt]{article}
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\begin{document}

\Prova{3}{29 de novembro de 2007}

\vspace{5mm}

\noindent {\Large \bf  Nome :} \ \hrulefill \ \  {\Large \bf   No.  USP : \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  }

\hrulefill

\vspace{2mm}

\begin{QstsFig}\ Uma particula  de massa  $\,\bf  m\,$ \'{e} lan\c{c}ada no interior de uma superf\'{\i}cie
c\^{o}nica de abertura  $\,\bf \betha \,$ com velocidade angular $\,\bf  \vec {\omega }\,=\,\omega  _{o}\vec {k}$. 
O eixo de simetria da superf\'{\i}cie c\^{o}nica coincide com o eixo $\,\bf  z$.

\begin{itemize}
\item {(0.5)}  a) Existem v\'{\i}nculos ? Se afirmativo escreva a(s) fun\c{c}\~{a}o(\~{o}es) do(s) v\'{\i}nculo(s).
Quantos graus de liberdade tem o sistema ?
\item {(0.5)}  b) Quantos graus de liberdade tem o sistema ?
\item {(1.0)}  c) Escreva a lagrangeana do sistema.
\item {(1.0)}  d) Determine a(s) equa\c{c}\~{a}o(\~{o}es) do movimento.
\end{itemize}
\end{QstsFig}


\begin{QstcFig}{Q1p3-07.eps}\ Um bloco de massa  $\,\bf  m_{1}\,$ est\'{a} preso por um fio ( de comprimento
 fixo ) que passa  por uma  roldana de massa $\,\bf  M\,$ e raio $\,\bf  R\,$   ( $\,\bf  I\,=\,\frac {1}{2}mR^2$ )
  e fixado em uma das extremidades de
 mola de    constante el\'{a}stica   $\,\bf k$.  A outra extremidade da mola est\'{a} presa em uma parede vertical,
 como mostra a figura. Na outra extremidade do fio  est\'{a} preso um bloco de massa $\,\bf   m_{2}$ sob
 a ac\c{c}\~{a}o  da gravidade. Escolha a origem de seu sistema de coordenadas na posi\c{c}\~{a}o de
 equil\'{\i}brio da mola.

\begin{itemize}
\item {(0.5)}  a) Existem v\'{\i}nculos ? Se afirmativo escreva a(s) fun\c{c}\~{a}o(\~{o}es) do(s) v\'{\i}nculo(s).
Quantos graus de liberdade tem o sistema ?
\item {(0.5)}  b) Quantos graus de liberdade tem o sistema ?
\item {(1.0)}  c) Escreva a lagrangeana do sistema.
\item {(1.0)}  d) Determine a(s) equa\c{c}\~{a}o(\~{o}es) do movimento.

\end{itemize}
\end{QstcFig}

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\begin{QstsFig}\ As express\~{o}es abaixo s\~{a}o lagrangeanas e hamiltonianas de diversos sistemas.

\vspace{3mm}

   $\ \ \ \ \ \ \ \bf  L\,=\,\frac {1}{2}m\,(\dot x^{2}\,+\,\dot y^{2}\,+\,\dot z^{2}\,)\,-\,\frac {1}{2}k\,(x^{2}\,+\,y^{2}\,+\,z^{2})$

 $\ \ \ \ \ \ \ \bf  L\,=\,\frac {1}{2}m\,(\dot r^{2}\,+\,r^{2}\dot \theta^{2}\,+\,\dot z^{2}\,)\,-\,\frac {1}{2}k\,r^{2}\,-\,mgz$

  $\ \ \ \ \ \ \ \bf  L\,=\,\frac {1}{2}m\,(\dot r^{2}\,+\,\dot r^{2}\dot \theta^{2}\,+\,v_{o}^{2}t^{2}\,)\,-\,mgz$

  $\ \ \ \ \ \ \ \bf  L\,=\,\frac {1}{2}m\,(\dot r^{2}\,+\,r^{2}sen^{2}\theta \dot \phi^{2}\,+\,\dot z^{2}\,)\,-\,mgrcos\theta $

$\ \ \ \ \ \ \ \bf  H\,=\,\frac {1}{2}m\,(\dot r^{2}\,+\,r^{2}\theta _{o}^{2}t^{2}\,+\,\dot z^{2}\,)\,+\,mgzcos\theta $

$\ \ \ \ \ \ \ \bf  H\,=\,\frac {1}{2}m_{1}\,(\dot r^{2}\,+\,r^{2}\dot \theta ^{2}\,+\,\dot z^{2}\,)\,+\,m_{2}gz $

\vspace{2mm}
\noindent  Sem fazer nenhum c\'{a}lculo e justificando  cada  resposta ( com poucas palavras ) escreva 
uma lagrangeana ou uma hamiltoniana para um sistema que tem

\begin{itemize}
\item{(0.25)}  a)   conserva\c{c}\~{a}o de energia mec\^{a}nica.
\item{(0.25)}  b)   conserva\c{c}\~{a}o de momento generalizado.
\item{(0.25)}  c)   uma coordenada c\'{\i}clica. Qual \'{e} essa coordenada ?
\item{(0.25)}  d)   conserva\c{c}\~{a}o de momento angular.

\end{itemize}
\end{QstsFig}

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\begin{QstcFig}{Q3p3-07.eps}\  Um bloquinho  de massa  $\,\bf  m\,$ desliza sobre um hemisferio de raio  
$\,\bf  R$. Adote o sistema de coordenadas  da figura. Considere que come\c{c}ou a deslizar o bloquinho 
come\c{c}ou a deslizar  em $\,\bf  t\,=\,0\,$  da pos\c{c}\~{a}o $\,\bf  \theta\,=\,0$.

 \begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) Escreva a lagrangeana do sistema.
\item{(0.5)}  b) Escreva a fun\c{c}\~{a}o do v\'{\i}nculo. Quantos graus de liberdade tem o sistema ?
\item{(1.0)}  c) Determine a velocidade angular   $\,\bf  \dot  \theta \,$ do bloquinho.
\item{(1.0)}  d) Determine a(s) for\c{c}a(s) de v\'{\i}nculo.
\end{itemize}
\end{QstcFig}


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\begin{QstsFig}\ Uma part\'{\i}cula de massa $\,\bf  m\,$  movimenta-se em um campo central cuja  energia
potencial  \'{e} dada por $\bf U(r)\,=\,- \,\frac {A}{r}$, sendo $\,\bf  A\,$ uma constante positiva.

 \begin{itemize}
\item {(0.5)}  a) Escreva a energia mec\^{a}nica da part\'{\i}cula e determine o potencial efetivo.
\item {(1.0)}  b) Determine os poss\'{\i}veis movimentos da part\'{\i}cula.
\item {(0.5)}  c) Existe alguma \'{o}rbita  est\'{a}vel ? Qual \'{e} ? Determine sua energia mec\^{a}nica.
\end{itemize}

\noindent Sabendo-se que no  instante em que a velocidade angular \'{e} m\'{a}xima e vale  $\,\bf  \Omega \,$ 
a  part\'{\i}cula  est\'{a} na posi\c{c}\~{a}o  $\,\bf  r\,=\,R$.

\begin{itemize}
\item {(1.0)}  d) Escolha uma \'{o}rbita el\'{\i}ptica e determine  o acr\'{e}scimo em sua energia mec\^{a}nica
para que a part\'{\i}cula passe para uma \'{o}rbita hiperb\'{o}lica.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

{\Large Formul\'{a}rio}



\vspace {1cm}

{\Large  $\bf \frac {\alpha }{r}\,=\,1\,+\,\epsilon\,\cos \theta$, $\bf \alpha \,=\,\frac {l^2}{\mu\,k}$,
$\bf  \epsilon \,=\,\sqrt {1\,+\,\frac {2El^2}{\mu\,k^2}}$ }.

\end{document}









