UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE 2003
período noturno
Profa. Mazé Bechara
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Tópico V. Introdução ao formalismo Lagrangeano e Hamiltoneano na mecânica clássica
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duração prevista: ~ 4 semanas

	V.1 O princípio de Hamilton
V.2 Coordenadas generalizadas e as equações de Lagrange para o movimento. Aplicações.
V.3 Solução das equações de Lagrange para sistemas com vínculo - equações de vínculo e graus de liberdade do sistema.
V.4 As equações de Lagrange com os multiplicadores indeterminados. As forças de vínculo.
	V.5 Equivalência das equações de Lagrange e de Newton para o movimento.
	V.6 O Hamiltoneano e as equações de Hamilton para o movimento.

Referências: 

1. 	Jerry B. Marion e Stephen T. Thornton em “Classical Dynamics of Particles and Systems” da “Saunders College Publishing”, 4a. edição; Cap. 7 
2. 	Keith  R. Symon em “Mecânica” da Editora Campus, Cap. 9.

QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO V
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Questão 1. Uma certa massa M2 está pendurada na extremidade de um fio que passa por cima de uma polia fixa sem atrito. (figura ao lado). Na outra extremidade deste  fio há uma polia de massa M1, que não gira, e sobre a qual está um fio que segura as massas m1 e m2.
a)	Determine a Lagrangeana do sistema.
b)	Determine a aceleração da massa m2.

Questão 2. Na figura abaixo, b representa um plano horizontal sem atrito tendo uma pequena abertura O. Um fio de comprimento l, que passa por O, tem em suas extremidades uma partícula P de massa m e uma partícula Q de mesma massa e que balança livremente. À partícula P é dada uma velocidade inicial de magnitude vo em ângulo reto com o fio OP quando o comprimento do fio OP = a. Seja r a distância instantânea OP, enquanto q é o ângulo entre OP e uma linha fixa que passa por O.
a)	 Determine o lagrangeano do sistema.
b)	Escreva a equação diferencial para o movimento de P em termos de r.
c)	Ache a velocidade de P em uma posição qualquer.

Questão 3. Um aro de massa m e raio R rola sem deslizar em um plano inclinado de massa M o qual faz um ângulo a com a horizontal (figura ao lado). Ache as equações de Lagrange e as integrais de movimento para o caso em que o plano desliza sem atrito na superfície horizontal.

Questão 4. Uma partícula de massa m desliza sem atrito em um aro de raio R. Calcule pelo método dos multiplicadores de Lagrange, a reação do aro na partícula. Mostre que a partícula deixa o aro depois de percorrer um ângulo igual a , se ela partir do repouso no topo do aro.

Questão 5. Dois blocos, cada um de massa M, estão ligados por uma corda de comprimento l. Um dos blocos está colocado em uma superfície horizontal enquanto o outro está na vertical ligado ao primeiro por uma roldana. Descreva o movimento do sistema quando a massa da corda é desprezível.

Questão 6. Escreva a Lagrangeana e obtenha as equações de movimento para o pêndulo mostrado na figura ao lado. O ponto de apoio do pêndulo se move num eixo horizontal com .

Questão 7. Uma barra gira com velocidade no plano (x, y) em torno de um aro vertical passando pela extremidade O, onde está presa uma mola de constante elástica k e comprimento natural l. Na outra extremidade da mola prende-se um anel de massa m que pode deslizar sem atrito na vareta (veja figura ao lado).
a)	Escreva a Lagrangeana para o anel.
b)	Determine as equações de movimento do anel.
c)	A energia total do anel é constante? Justifique.

Questão 8. Um ponto material de massa m move-se dentro de um hemisfério em repouso, liso e de raio R, como mostra a figura ao lado.
a)	Obtenha as equações de movimento da partícula.
b)	Determine a reação do hemisfério sobre a partícula.

Questão 9. Considere um anel de massa m movendo-se numa barra formando um ângulo a com a vertical, sob a ação de seu peso (figura ao lado). Em t = 0 o anel está parado em x = 0.
a)	Determine o movimento do anel, se a barra se desloca para a direita com aceleração .
b)	Determine a reação da barra.

Questão 10. Determine as equações de movimento das massas m1 e m2 do pêndulo duplo da figura ao lado, em movimento no plano do papel. Deixe claro quantos e quais são os graus de liberdade deste sistema, e a(s) equação(ões) de vínculo do movimento. Os fios do pêndulo têm comprimento L1 e L2 conhecidos, são inextensíveis e têm massas desprezíveis comparadas com as massas m1 e m2.
a)	Discuta a aproximação para pequenas oscilações.

Questão 11. Uma partícula de massa m desliza sem atrito em um aro circular de raio a como mostra a figura ao lado. O aro está em um plano vertical e gira com velocidade angular .
a)	Determine as equações de movimento do sistema.
b)	Discuta, usando o método do potencial efetivo, a natureza dos possíveis movimentos da partícula.
c)	Calcule a freqüência de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio estável no caso onde  e .
d)	Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache expressões para as forças de reação e vínculo e diga o que representa fisicamente cada um dos multiplicadores de Lagrange.

Questão 12. Uma esfera de raio r rola sem escorregar na metade inferior da superfície interna de um cilindro de raio R, como mostra a figura ao lado. Determine a função Lagrangeana, a equação de vínculo e a(s) equação(ões) de Lagrange do movimento. Encontre as freqüências de pequenas oscilações.

Questão 13. Uma máquina de Atwood é mostrada na figura ao lado. Tome um conjunto apropriado de coordenadas generalizadas e obtenha as equações de Lagrange para o sistema. Determine as acelerações das massas (as massas das roldanas são desprezíveis). Resolva também o problema com multiplicadores de Lagrange e encontre as tensões nos fios.

Questão 14. Uma partícula de massa m se move sob a influência da gravidade ao longo de uma espiral , onde k é constante e o eixo z é vertical. Obter as equações de movimento da massa.

Questão 15. Considere uma barra rígida e uniforme de massa M e comprimento L, presa pelas extremidades por duas molas de constante k (veja figura ao lado). Na posição de equilíbrio a barra está horizontal. Considere somente o movimento da barra no plano vertical. Se no início uma das extremidades da barra estiver deslocada e a outra na posição de equilíbrio e com o sistema partindo do repouso, ache o movimento subsequente. Determine as freqüências de pequenas oscilações.

Questão 16. Uma partícula de massa m se move em uma dimensão sob a influência de uma força , onde k e t são constantes positivas.
a)	Escreva a Lagrangeana.
b)	Determine as equações de movimento da massa.

Questão 17. Use o método de Lagrange para obter a equação de movimento de uma partícula de massa m restringida a mover-se na superfície de um cilindro definido por  . A partícula esta sujeita a uma forca dirigida  à origem e proporcional à distância da partícula à origem: .

Questão 18. Uma bola está restrita a mover-se ao longo da superfície da espiral cônica (figura ao lado). Suponha que ,  onde a e b são constantes. Mostre que a equação de movimento pode ser escrita na forma:

Questão 19. (8-34 do Marion&Thornton)
Uma partícula se move sobre a superfície de um cone de ângulo 2a sujeito à força gravitacional.
a)	Mostre que o potencial efetivo é: 
(Note que aqui r é a distância radial em coordenadas cilíndricas, não coordenadas esféricas).
b)	Mostre que os pontos de retorno de movimento podem ser encontrados a partir da solução cúbica em r. Mostre ainda que somente duas raízes têm significado físico, de modo que o movimento é confinado dentro de dois planos horizontais que cortam o cone.

Questão 20. 
a)	Você considera correta a afirmação: "a dinâmica Lagrangeana se constituiu numa nova teoria para a mecânica clássica" correta? Justifique. 
b)	Qual a grandeza física que é enfatizada na mecânica de Newton? E na mecânica Lagrangeana? Discuta as conseqüências deste fato.
(b) O que você entende por coordenadas generalizadas e seus momentos associados? 
c)	O que define o número de graus de liberdade de um sistema dinâmico? Justifique
d)	O que você entende por  "vínculos" no movimento de um corpo? Estão estes vínculos associados a forças físicas? Justifique.
e)	Há alguma razão física para que na Lagrangeana de um sistema apareça a coordenada generalizada mas não a derivada dela, ou vice-versa? Justifique.  
f)	Dos movimentos descritos nas questões 1 a 19, qual deles você considera que seria mais fácil descrever usando o formalismo Newtoneano ao invés do Langrageano? E mais difícil? E de mesmo nível de dificuldade?