\documentclass[dvips,11pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{./vil}
%\usepackage[dvips]{graphicx,color}
\usepackage{graphicx,color}

\begin{document}

\Prova{2}{03 de outubro de 2013}

\hrulefill

\vspace{2mm}

\begin{QstcFig}{13q1p2.eps}\ (3.0)Um bloquinho massa  $\,\bf  m$ est\'{a} sobre um plano inclinado de $\,\bf  \theta $ com a horizontal. O sistema bloquinho + plano 
inclinado est\'{a} dentro de um elevador que est\'{a} subindo com acelera\c{c}\~{a}o  $\,\bf  \alpha $. Adote o referencial n\~{a}o inercial  $\,\bf S\,$ sobre o plano 
inclinado com o eixo $\,\bf X\,$ paralelo \`{a} superf\'{\i}cie do plano, orientado para baixo. Suponha que em  $\,\bf t\,=\,0\,$  o bloquinho esteja  
parado na posi\c{c}\~{a}o $\,\bf  x\,=\,0\,$ e  $\,\bf  y\,=\,0\,$  a uma altura $\,\bf h\,$ do ch\~{a}o do elevador. Determine:

\begin{itemize}
\item{(1.0)}  a) a equa\c{c}\~{a}o do movimento do bloquinho no referencial acelerado;
\item{(1.0)}  b) a velocidade  do bloquinho no referencial acelerado;
\item{(1.0)}  c) o tempo que o bloquinho leva at\'{e} atingir o ch\~{a}o do elevador.
\end{itemize}
\end{QstcFig}

\newpage

%\begin{QstsFig}\ (4.0)Um  referencial  localizado na superf\'{\i}cie da Terra  (plano xy) est\'{a} girando com velocidade angular  $\,\bf  \omega $ em torno 
%do eixo z. Um corpo  de  massa $\,\bf  m\,$  \'{e} lan\c{c}ado do ponto $\,\bf  (x_{o}, 0, h_{o})\,$  com velocidade  
%$\,\bf  \vec{v}  _{o}\,=\,\alpha \vec  {e}_{x}\,+\,2\alpha \vec {e}_{z}\,$  em  rela\c{c}\~{a}o ao  referencial girante.  O corpo est\'{a} no campo gravitacional. 
%Determine :

%\begin{itemize}
%\item{(0.5)}  a) a equa\c{c}\~{a}o do movimento do corpo no referencial do disco;
%\item{(1.0)}  b) as componentes da velocidade $\,v_{x}(t)\,$,  $\,v_{y}(t)\,$ e $\,v_{z}(t)\,$ do corpo  no referencial
%do disco em um instante qualquer;
%\item{(1.0)}  c) as coordenadas $\, x(t)\,$, $\,y(t) \,$  e $\,z(t) \,$ do corpo,  no referencial do disco em um   instante qualquer.
%\item{(0.5)}  d) Considere $\,\bf  \alpha \,=\,10\,m/s$, $\,\bf  x_{o}\,=\,-\,10\,m$,  $\,\bf  h_{o}\,=\,15\,m$ e  $\,\bf  g\,=\,10\, m/s^2$ e determine as 
%coordenadas do corpo quando ele atinge a disco.
%\end{itemize}
%\end{QstsFig}

\begin{QstcFig}{13q2p2.eps}\ (4.0) O referencial $\,\bf  S\,$ da figura est\'{a} girando com velocidade angular   $\,\bf  \omega $ em torno do eixo z. 
Um corpo  de  massa $\,\bf  m\,$  \'{e} lan\c{c}ado do ponto  $\,\bf  (0, -y_{o}, 0)\,$  com velocidade  
$\,\bf \vec {v}_{o}\,=\,\alpha \vec  {e}_{y}\,+\,2\alpha \vec {e}_{z}\,$  em  rela\c{c}\~{a}o a$\,\bf  S$ .  O corpo est\'{a} no campo gravitacional 
( perpendicular ao plano $\,\bf  xy$). Despreze a for\c{c}a centrifuga e determine :

\begin{itemize}
\item{(1.0)}  a) a equa\c{c}\~{a}o do movimento do corpo no referencial $\,\bf  S$;
\item{(1.5)}  b) as componentes da velocidade $\,v_{x}(t)\,$,  $\,v_{y}(t)\,$ e $\,v_{z}(t)\,$ do corpo  no referencial $\,\bf  S\,$ em um instante qualquer;
\item{(1.5)}  c) as coordenadas $\, x(t)\,$, $\,y(t) \,$  e $\,z(t) \,$ do corpo,  no referencial $\,\bf  S\,$ em um   instante qualquer.
\end{itemize}
\end{QstcFig}

\newpage

\begin{QstsFig}\ (3.0)Um corpo  de  massa $\,\bf  m\,$  est\'{a} na superf\'{\i}cie da Terra com velocidade $\,\bf  \vec{v}  _{o}$, na latitude $\,\bf  \theta \,$ no 
hemisf\'{e}rio Norte. Considere o referencial $\,\bf  S\,$ fixo superf\'{\i}cie da Terra (sendo $\,\bf  R\,$ o raio da Terra e $\,\omega \,$ sua velocidade angular).

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) Escreva $\,\vec {\omega }\,$ no referencial $\,\bf  S$.
\item{(1.25)}  a) Determine a for\c{c}a de Coriolis.
\item{(1.25)}  b) Determine a for\c{c}a centrifuga.
 
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\vspace{22cm}
\hrulefill

$\vec {a}\,=\,\vec {a}'\,-\,\vec {A}$ \ \ \ \ \ \ \ \  $\vec {a}\,=\,\vec {a}'\,-\,2\,\vec {\omega }X\vec {v}\,-\,\vec {\omega }X\vec {\omega }X\vec {r}\,$
\end{document}



 \begin{QstsFig}\ Um sistema \'{e} descrito pala equa\c{c}\~{a}o log\'{\i}stica cujo gr\'{a}fico \'{e} mostrado 
 na figura.

 \begin{itemize}
\item {(1.0)}  a)  Determine se  o sistema \'{e} ou n\~{a}o ca\'{o}tico.
\end{itemize}
\end{QstsFig}
 \includegraphics[width=16cm]{Q2p2b.eps}
\newpage

\begin{QstsFig}\ Um sistema \'{e} descrito pala equa\c{c}\~{a}o log\'{\i}stica $\,\bf  x_{n+1}\,=\,\alpha x_{n}\,
 (\,1\,-\,x_{n})$. Para um  certo valor  de $\,\bf  \alpha \,$ o sistema apresenta diferentes ciclos que dar\~{a}o
 diferentes valores para $\,\bf  x_{n}$. Um desses valores \'{e}  $\,\bf  x_{n}\,=\,0.40$. Determine :

 \begin{itemize}
\item {(0.75)}  a)  quantos ciclos ter\'{a} esse sistema e os respectivos valores de  $\,\bf  x_{n}$;
\item {(0.75)}  b)  o valor de  $\,\bf  \alpha $ e do  coeficiente de Lyapunov, nesse caso.
\end{itemize}
\end{QstsFig}
 \includegraphics[width=14cm]{Q3p2a.eps}

  \includegraphics[width=14cm]{Q3p2b.eps}

\vspace{2cm}

\begin{QstsFig}{Q4p2.eps}\ (1.0) Determine a dimens\~{a}o fractal do fractal da figura.
\end{QstsFig}
\includegraphics[width=18cm]{Q4p2.eps}
\newpage


 \begin{QstcFig}{Q5p2.eps}\  Um p\^{e}ndulo \'{e} constutu\'{\i}do por um fio de  comprimento $\,\bf  l\,$
 e uma bolinha de massa  $\,\bf  m\,$ suspensa nesse fio. O ponto de fixa\c{c}\~{a}o  $\,\bf  P\,$  do
 p\^{e}ndulo move-se em linha reta com velocidade constante $\,\bf  v_{o} $, conforme mostra a figura. 
 Para  $\,\bf  t\,=\,0 \,$ o ponto $\,\bf  P\,$ estava em  $\,\bf  x\,=\,0 \,$.

\begin{itemize}
\item  {(1.0)}  a)  Obtenha a energia cin\'{e}tica e potencial para a massa $\,\bf  m\,$.
\item  { (0.5)}  b) Existem v\'{\i}nculos nesse problema ? Se sim, quais ?
Quantos graus de liberdade existem ? Justifique suas respostas.
\item  { (0.5)}  c) Escreva a lagrangeana do sistema.
\item  {(1.5)}  d) Deternime as equa\c{c}\~{o}es do movimento.
\end{itemize}
\end{QstcFig}








\end{document}

\begin{QstsFig}\  (4.0) Um corpo de massa $\bf \,m\,$ \'{e} lan\c{c}ado com velocidadede $\bf \,v_{o}\,$ de certa altura da superf\'{\i}cie da Terra. A 
velocidade do corpo $\bf \,v_{o}\,$   paralela \`{a}  superf\'{\i}cie da Terra. A f\^{o}r\c{c}a de resist\^{e}ncia do ar \'{e} proporcional a velocidade 
( tipo $\bf \,mkv\,$ ). Adote o sistema de eixos $\bf x\, e \,y\,$ com $\,\bf \,x\,$ paralelo \`{a}  superf\'{\i}cie da Terra. 

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a)  Escreva as equa\c{c}\~{o}es do movimento do corpo. 
\item{(2.0)}  b)  Obtenha a express\~{a}o para as velocidades $\,\bf v_{x}(t)\,$ e $\,\bf v_{y}(t)\,$ do corpo. 
\item{(1.5)}  c)  Determine, ap\'{o}s o intervalo de tempo $\bf \,\Delta t\,=\,\frac {1}{k}$, o \^{a}ngulo que a velocidade do corpo faz com a horizontal e sua 
coordenada $\,\bf x$.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

\begin{QstsFig}\ (4.0) A energia potencial de um corpo movimentando-se sobre o eixo x \'{e} dada por 

\vspace{1mm}

$\bf \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ U(x)\,=\,U_{o}\,(\frac {1}{x^2}\,-\,\frac {3}{x})$

\vspace{1mm}

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) Determine a f\^{o}r\c{c}a que age sobre o corpo.
\item{(1.0)}  b) Fa\c{c}a um esbo\c{c}o do gr\'{a}fico U(x) versus x e determine os poss\'{\i}veis movimentos do corpo.
\item{(1.0)}  c) Fa\c{c}a um esbo\c{c}o do diagrama de fase para as energias $\bf  \,E\,>\,0}\,$ e $\bf  \,E\,=\,-\,\frac {U_{o}}{2}$.
\item{(0.5)}  d) Determine o tipo de equil\'{\i}brio e a energia dos pontos de equil\'{\i}brio.
\item{(1.0)}  e) Determine os pontos de retorno para a energia  $\bf \,E=\,U_{o}$.
\end{itemize}
\end{QstsFig}


\newpage 

\begin{QstsFig}\ (2.0) A f\^{o}r\c{c}a  $\,\bf F(t)\,=\,F_{o}\,\frac {1}{(1 + t)^2}\,$ ($\,F_{o}\,$ constante) \'{e} aplicada em um corpo de massa $\,\bf m\,$ que 
est\'{a} em repouso. Determine :

\begin{itemize}
\item {(1.5)}   a) a velocidade do corpo ap\'{o}s 3 segundos.
\item {(1.0)}   b) a velocidade terminal do corpo.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\end{document}









