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05 de dezembro de 2013  P 4

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

1– (4.0) Uma polia de massa M e raio R ( I = \frac{1}{2} MR^{2} ) tem seu eixo de rotação fixo em um parede, como mostra a figura. A massa m da figura está presa em uma das extremidades de um fio que está enrolado na polia podendo se deslocar sob a ação da força gravitacional. Obtenha: está presa

• (0.5) a) o número de graus de liberdade do sistema e a função do vínculo;

• (1.0) b) a lagrangeana do sistema;

• (1.0) c) as equações do movimento;

• (1.5) d) as forças do vínculo. Identifique estas forças.

\frac{∂L}{∂q_{i}} − \frac{d}{dt}(\frac{∂L}{∂q̇_{i}}) + λ \frac{∂f}{∂q_{i}} = 0 2– (3.0) Um corpo de massa m entra no sistema solar e fica preso em uma órbita elíptica catastrófica em torno

da Terra (massa M e raio R ), de excentricidade ϵ_{o} e distância de máxima aproximação R , chocando-se com a Terra. Determine:

• (1.5) a) o momento angular, a energia da órbita catastrófica e se esta energia é positiva ou negativa;

• (1.5) b) a variação mínima necessária de momento angular e energia para o corpo passar a uma distância 2R do centro da Terra e escapar de seu campo gravitacional.

Dado: \frac{α}{r} = 1 + ϵ cosθ  α = \frac{l^{2}}{μk}  ϵ = \sqrt{1 + 2 \frac{El^{2}}{μk^{2}}} .

3– (3.0)A energia potencial de um corpo de massa m, movimentando-se sob a ação de uma força central, é dada por mgr .

• (0.5) a) Escreva a lagrangeana e a energia mecânica deste corpo e mostre que o potencial efetivo é V_{ef} = \frac{l^{2}}{2mr^{2}} + mgr.

• (1.5) b) Faça um esboço do gráfico U_{ef}(r) versus r e determine os possíveis movimentos do corpo.

• (1.0) c) Determine o o raio e a energia da órbita circular (simplifique a expressão). Esta órbita é estável ou instável?