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\begin{document}

\Prova{4}{05 de dezembro de 2013}

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%\vspace{2mm}

\begin{QstcFig}{13q1p4.eps}\  (4.0) Uma polia de massa  $\bf \,M\,$  e raio $\bf \,R\,$ ($\bf \,I\,=\,\frac {1}{2}\,MR^{2}\,$) 
tem seu eixo de rota\c{c}\~{a}o fixo em um parede, como mostra a figura. A massa $\bf \,m \,$ da figura est\'{a} presa em uma das extremidades 
de um fio que est\'{a} enrolado na polia podendo se deslocar sob a a\c{c}\~{a}o da for\c{c}a gravitacional. Obtenha:
est\'{a} presa

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a)  o n\'{u}mero de graus de liberdade do sistema e a  fun\c{c}\~{a}o do v\'{\i}nculo; 
\item{(1.0)}  b)  a lagrangeana do sistema; 
\item{(1.0)}  c)  as equa\c{c}\~{o}es do movimento; 
\item{(1.5)}  d) as for\c{c}as do v\'{\i}nculo. Identifique estas for\c{c}as.
\end{itemize}
\end{QstcFig}

\vspace{15cm}

$\frac {\partial L}{\partial q_{i}}\,-\,\frac {d}{dt}(\frac {\partial L}{\partial \dot {q}_{i}})\,+\,\lambda \,\frac {\partial f}{\partial q_{i}}\,=\,0$

\newpage

\begin{QstsFig}\ (3.0) Um corpo de massa $\bf \,m\,$  entra no sistema solar e fica preso em uma \'{o}rbita el\'{\i}ptica catastr\'{o}fica 
em torno da Terra (massa $\bf \,M\,$  e raio $\bf \,R\,$), de excentricidade  $\bf \,\epsilon _{o}\,$ e dist\^{a}ncia de m\'{a}xima 
aproxima\c{c}\~{a}o  $\bf \,R\,$, chocando-se com a Terra. Determine: 

\vspace{1mm}

\begin{itemize}
\item{(1.5)}  a) o momento angular, a energia da \'{o}rbita catastr\'{o}fica e se esta energia \'{e} positiva ou negativa;
\item{(1.5)}  b) a varia\c{c}\~{a}o m\'{\i}nima necess\'{a}ria de  momento angular e energia para o corpo passar a uma dist\^{a}ncia  
$\bf \,2R\,$ do centro da Terra e escapar de seu campo gravitacional.
 
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\noindent Dado: $\,\bf  \frac {\alpha }{r}\,=\,1\,+\,\epsilon \,cos\theta $ \ \ \ \ \ \ \ $\,\bf  \alpha \,=\,\frac {l^{2}}{\mu k}$ \ \ \ \ \ \ \    
$\bf \epsilon \,=\,\sqrt {1\,+\,2\,\frac {El^{2}}{\mu k^{2}}}$.


\newpage 

\begin{QstsFig}\ (3.0)A energia potencial de um corpo de massa $\bf \,m$, movimentando-se sob a a\c{c}\~{a}o de uma for\c{c}a central, \'{e} 
 dada por $\bf \,mgr\,$.

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) Escreva a lagrangeana  e a energia mec\^{a}nica deste corpo e mostre que o potencial efetivo \'{e} $\bf \,V_{ef}\,=\,\frac {l^{2}}{2mr^{2}}\,+\,mgr$.
\item{(1.5)}  b) Fa\c{c}a um esbo\c{c}o do gr\'{a}fico $U_{ef}(r)$ versus r e determine os poss\'{\i}veis movimentos do corpo.
\item{(1.0)}  c) Determine o o raio e a energia da \'{o}rbita circular (simplifique a express\~{a}o). Esta \'{o}rbita \'{e} est\'{a}vel ou inst\'{a}vel?
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\end{document}









