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16 de janeiro de 2014  P rec

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

1– (2.0) Um balsa de massa m está com velocidade v_{o} quando começa a ser puxada, contra a correnteza de um rio, por meio de um motor que enrola uma corrente presa a balsa. A força aplicada pela corrente ao barco é constante dada por F = m a. A força resistiva da correnteza é proporcional a velocidade do barco (tipo mkv). Adote o eixo x na direção e sentido da força ma.

• 0.5 a) Faça um desenho indicando as forças e escreva a equação do movimento .

• 1.0 b) Determine a velocidade da balsa em função do tempo.

• 0.5 c) Determine a velocidade terminal da balsa.

2– (1.0) Um corpo de massa m, em um dado instante, está na superfície da Terra ( raio R e velocidade angular ω ), na latitude θ, com velocidade v_{o} no sentido norte - sul. Faça uma figura indicando o sistema de coordenadas adotado e determine nesse instante :

• (0.5) a) a fôrça de Coriolis F⃗_{cor},

• (0.5) b) a fôrça de centrifuga F⃗_{cent}.

3– (1.0) Um sistema é descrito pala equação logística x_{n+1} = α x_{n} ( 1 − x_{n}). O gráfico abaixo representa esta equação, para um certo valor de α.

• (0.75) a) O sistema é caótico ?

• (0.75) b) Qual o valor de α e do coeficiente de Lyapunov, nesse caso.

4– (3.0) Uma esfera de raio R e massa m ( I = \frac{1}{2} mR^{2} rola sem deslizar, na horizintal, presa a uma das extremidades de uma mola de constante elástica k, cuja outra extremidade está presa em uma parede, como mostra a figura. Obtenha:

• (0.5) a) a lagrangeana do sistema;

• (0.5) b) a função do vínculo;

• (1.0) c) as equações do movimento;

• (1.0) d) as fôrças do vínculo. Identifique-as.

5– (3.0) Um corpo celeste de massa m (muito menor que a massa do Sol) movimenta-se em torno do Sol e seu

potencial efetivo é dado por

V_{ef} (r) = \frac{l^{2}}{2mr^{2}} − \frac{k}{r}

• 0.5 a) Determine a força que age no corpo.

• 1.0 b) Faça um esboço do gráfico do potencial efetivo e deternine os possíveis movimentos do corpo.

• 0.7 c) Qual a energia mecânica da órbita circular estável ?

• 1.0 d) Se o corpo estiver numa órbita circular, qual será da energia mínima necessária para escapar do Sol e a excentricidade da nova órbita?

Dado:

ã = ã′ − 2ω̃ × ṽ − ω̃ × ω̃ × ṽ \frac{∂L}{∂q_{i}} − \frac{d}{dt}(\frac{∂L}{∂q̇_{i}} ) + λ \frac{∂f}{∂q_{i}} = 0

\frac{α}{r} = 1 + ϵ cosθ  α = \frac{l^{2}}{μk}  ϵ = \sqrt{1 + 2 \frac{El^{2}}{μk^{2}}}