\documentclass[dvips,11pt]{article}
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\begin{document}


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\Prova{rec}{16 de janeiro  de 2014}


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%\vspace{2mm}
%------------ 1a. questão --------------------
\begin{QstsFig}\ (2.0) Um balsa  de massa $\,\bf  m\,$ est\'{a} com velocidade $\,\bf  v_{o}\,$  quando come\c{c}a a ser puxada, contra a 
correnteza de um rio, por meio de um motor que enrola uma corrente presa a balsa. A for\c{c}a aplicada pela corrente ao barco \'{e} constante dada por 
$\,\bf F\,=\, m\,a$.  A for\c{c}a resistiva da correnteza \'{e} proporcional a velocidade do barco (tipo  $\,\bf mkv$). Adote o eixo $\,\bf  x\,$ na dire\c{c}\~{a}o 
e sentido da  for\c{c}a $\,\bf  ma$.

\begin{itemize}
\item{0.5}  a) Fa\c{c}a um desenho indicando as for\c{c}as e escreva a equa\c{c}\~{a}o do movimento .
\item{1.0}  b) Determine a velocidade da balsa em fun\c{c}\~{a}o do tempo.
\item{0.5}  c) Determine a velocidade terminal da balsa.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

\begin{QstsFig}\ (1.0) Um corpo  de massa  $\,\bf  m$,  em um dado instante,  est\'{a} na  superf\'{\i}cie da Terra  
 ( raio  $\,\bf  R\,$ e velocidade angular  $\,\mbox{\boldmath$\omega$}$ ), na latitude  $\,\bf \mbox{\boldmath$\theta$}$, com
 velocidade  $\,\bf  v_{o}\,$ no sentido norte - sul. Fa\c{c}a uma figura indicando o sistema de coordenadas adotado e determine nesse instante :

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) a  f\^{o}r\c{c}a de Coriolis $\,\vec {F} _{cor}$,
\item{(0.5)}  b) a  f\^{o}r\c{c}a de centrifuga $\,\vec  {F} _{cent}$.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

%
%\begin{QstsFig}\ (1.0) Um  corpo de  massa $\,\bf  m\,$  est\'{a} se movimentando na superf\'{\i}cie
%da Terra ( suponha $\,\bf  \omega  $ a velocidade angular da Terra ), em uma trajet\'{o}ria circular 
%de latitude  $\,\mbox{\boldmath$\alpha $}$, com velocidade $\,\bf  v_{o}\,$ em rela\c{c}\~{a}o \`{a} Terra ( no sentido
%da rota\c{c}\~{a}o da Terra ).  Determine no referencial da Terra:
%
% \begin{itemize}
%\item{(0.5}  a)  a  f\^{o}r\c{c}a  de Coriolis sobre o corpo;
%\item{(0,5}  a)  a  f\^{o}r\c{c}a centr\'{\i}fuga  sobre o corpo;
%\end{itemize}
%\end{QstsFig}

\newpage

\vspace{1.3cm}

\begin{QstsFig} \ (1.0) Um sistema \'{e} descrito pala equa\c{c}\~{a}o log\'{\i}stica
$\,\bf  x_{n+1}\,=\,\mbox{\boldmath$\alpha $}\,x_{n}\, (\,1\,-\,x_{n})$. O gr\'{a}fico abaixo representa esta equa\c{c}\~{a}o,
para um  certo valor  de $\,\mbox{\boldmath$\alpha $}$.

\begin{itemize}
\item {(0.75)}  a)  O sistema \'{e} ca\'{o}tico ?
\item {(0.75)}  b)  Qual o valor  de  $\,\mbox{\boldmath$\alpha $}$ e do  coeficiente de Lyapunov, nesse caso.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\begin{center}

\noindent \includegraphics[width=15cm]{alfa=2.9re-bump.eps}

\end{center}

\newpage

\begin{QstcFig}{13q4sem2re.eps}\ (3.0) Uma esfera de raio $\,\bf  R\,$ e  massa $\,\bf  m\,$ ($\,\bf I\,=\,\frac {1}{2}\,mR^{2}\,$ rola sem deslizar, na horizintal, 
presa a uma das extremidades de uma mola de constante el\'{a}stica  $\,\bf  k$, cuja outra extremidade est\'{a} presa em uma parede, como mostra a figura. Obtenha:

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) a lagrangeana do sistema;
\item{(0.5)}  b) a fun\c{c}\~{a}o do v\'{\i}nculo;
\item{(1.0)}  c) as equa\c{c}\~{o}es do movimento;
\item{(1.0)}  d) as f\^{o}r\c{c}as do v\'{\i}nculo. Identifique-as.
\end{itemize}
\end{QstcFig}



%\begin{QstcFig}{cilindro-bump.eps}\ (3.0) Um  corpo de  massa $\,\bf  m\,$  \'{e} lan\c{c}ado no interior de uma
%O corpo est\'{a} no campo gravitacional. Determine :

%\begin{itemize}
%\item{(0.5)}  a) a lagrangeana do sistema;
%\item{(0.5)}  b) a fun\c{c}\~{a}o do v\'{\i}nculo;
%\item{(1.0)}  c) as equa\c{c}\~{o}es do movimento;
%\item{(1.0)}  d) as f\^{o}r\c{c}as do v\'{\i}nculo.
%\end{itemize}
%\end{QstcFig}


\newpage

\begin{QstsFig}\ (3.0) Um corpo celeste de massa $\,\bf  m\,$ (muito menor que a massa do Sol) movimenta-se em torno do Sol e seu  potencial
efetivo \'{e} dado por

\begin{center}

$\bf V_{ef}(r)\,=\,\frac {l^2}{ 2mr^2}\,-\,\frac {k}{r}$

\end{center}

\begin{itemize}
\item {0.5}  a) Determine a for\c{c}a  que age no corpo.
\item {1.0}  b) Fa\c{c}a um esbo\c{c}o do gr\'{a}fico do potencial efetivo e deternine os poss\'{\i}veis movimentos do corpo.
\item {0.7}  c) Qual a energia mec\^{a}nica da \'{o}rbita circular est\'{a}vel ?
\item {1.0}  d) Se o corpo estiver numa  \'{o}rbita circular, qual ser\'{a}  a energia m\'{\i}nima necess\'{a}ria para escapar do Sol e a excentricidade 
da nova \'{o}rbita? 
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

Dado:

\vspace{2mm} 

{\large $\bf \vec {a}\,=\,\vec {a}'\,-\,2\vec {\mbox{\boldmath$\omega $}}\times \vec {v}\,-\,\vec {\mbox{\boldmath$\omega $}}\times \vec {\mbox{\boldmath$\omega $}}\times \vec {v}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
$\bf \frac {\partial L}{\partial q_{i}}\,-\,\frac {d}{dt}(\frac {\partial L}{\partial \dot {q}_{i}})\,+\,\lambda \,\frac {\partial f}{\partial q_{i}}\,=\,0$

\vspace{10mm}


$\,\bf  \frac {\mbox{\boldmath$\alpha $}}{r}\,=\,1\,+\,\mbox{\boldmath$\epsilon $} \,cos\mbox{\boldmath$\theta $}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
$\,\mbox{\boldmath$\alpha $}\,=\,\bf \frac {l^{2}}{\mbox{\boldmath$\mu k$}}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   
$\bf \mbox{\boldmath$\epsilon $}\,=\,\sqrt {1\,+\,2\,\frac {El^{2}}{\mu k^{2}}}$}

\vspace{15mm}

\noindent \includegraphics[width=18cm]{fig-01-02.eps}
\end{document}
