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27 de novembro de 2014  P 4b

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

Aviso : dê suas respostas apenas em função dos dados do problema

1– (3.5) Uma mola de constante elática k está presa por uma de suas extremidades em uma parede vertical e na outra tem um cilindro de massa m e raio R ( I = \frac{1}{2} mR^{2} ) que pode rolar sem deslizar. O sistema massa+mola movimenta-se na horizontal. Adote um sistema de coordenadas conveniente (indique num desenho) e determine:

• (0.5) a) a(s) equação(ões) do(s) vínculo(s) e quantos graus de liberdade tem este sistema;

• (1.0) b) a lagrangeana deste sistema;

• (1.0) c) a(s) equação(ões) do movimento;

• (1.0) d) a(s) fôrça(as) de vínculo.

.

2– (2.5) Um corpo de massa m tem energia potencial V(r) = \frac{1}{2}kr^{2}.

• (0.5) a) Escreva a expressão para a sua energia mecânica e mostre que o potencial efetivo é V_{ef} (r) = \frac{l^{2}}{2mr^{2}} + \frac{1}{2}kr^{2}.

• (1.0) b) Faça o gráfico V_{ef} (r) em função de r e determine os possíveis movimentos.

• (1.0) c) Determine a energia da órbita circular.

.

3– (4.0) Um planeta de massa m está numa órbita em torno do Sol ( massa M ) cuja distância de máxima aproximção é a e mínima aproximção é 2a. Determine:

• (2.0) a) a massa reduzida, a excentricidade, o momento angular e a energia desta órbita;

• (1.0) b) a energia mínima necessária para o planeta escapar do campo gravitacional do Sol;

• (1.0) c) a energia necessária para o planeta passar para uma órbita circular de raio igual à distância de máxima aproximção da órbita descrita no enunciado.

\frac{α}{r} = 1 + ϵ cos θ  α = \frac{l^{2}}{μk}  ϵ = \sqrt{1 + \frac{2El^{2}}{μk^{2}}}