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\newcommand{\mat}[1]{\mbox{\boldmath{$#1$}}} 

% ------------ usar para negrito letra grega  --- $\mat{\tau}$ ------

\begin{document}

\Prova{4b}{27 de novembro de 2014}

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{\bf Aviso : d\^{e} suas respostas apenas em fun\c{c}\~{a}o dos dados do problema}

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\begin{QstsFig}\ (3.5) Uma mola de constante el\'{a}tica $\,\bf  k\,$  est\'{a}  presa por uma de suas extremidades em uma parede vertical e na 
outra tem um cilindro de massa  $\,\bf  m\,$ e raio $\,\bf  R\,$ ($\,\bf  I\,=\,\frac {1}{2}\,mR^2\,$) que pode rolar sem deslizar. O sistema massa+mola 
movimenta-se na horizontal. Adote um sistema de coordenadas conveniente (indique num desenho) e determine:

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) a(s) equa\c{c}\~{a}o(\~{o}es) do(s) v\'{\i}nculo(s) e quantos graus de liberdade  tem este sistema; 
\item{(1.0)}  b) a lagrangeana deste sistema;
\item{(1.0)}  c) a(s) equa\c{c}\~{a}o(\~{o}es) do movimento;
\item{(1.0)}  d) a(s) f\^{o}r\c{c}a(as) de v\'{\i}nculo.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

.

\newpage

\begin{QstsFig}\ (2.5) Um corpo de massa  $\,\bf  m\,$ tem energia potencial  $\,\bf  V(r)\,=\,\frac {1}{2}kr^2$. 

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) Escreva a express\~{a}o para a sua energia mec\^{a}nica e mostre que o potencial efetivo \'{e} 

$\,\bf  V_{ef}(r)\,=\,\frac {l^2}{2mr^2}\,+\,\frac {1}{2}kr^2$. 
\item{(1.0)}  b) Fa\c{c}a o gr\'{a}fico $\,\bf  V_{ef}(r)\,$ em fun\c{c}\~{a}o de $\,\bf  r\,$ e determine os poss\'{\i}veis movimentos.
\item{(1.0)}  c) Determine a energia da \'{o}rbita circular.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

.

\newpage

\begin{QstsFig}\ (4.0) Um planeta de massa  $\,\bf  m\,$  est\'{a} numa \'{o}rbita em torno do Sol ( massa  $\,\bf  M$ ) cuja dist\^{a}ncia de m\'{a}xima 
aproxim\c{c}\~{a}o \'{e} $\,\bf  a\,$ e m\'{\i}nima aproxim\c{c}\~{a}o \'{e} $\,\bf  2a$. Determine:

\begin{itemize}
\item{(2.0)}  a) a massa reduzida, a excentricidade, o momento angular e a energia desta \'{o}rbita; 
\item{(1.0)}  b) a energia m\'{\i}nima necess\'{a}ria para o planeta escapar do campo gravitacional do Sol;
\item{(1.0)}  c) a energia  necess\'{a}ria para o planeta passar para uma \'{o}rbita circular de raio igual \`{a}  dist\^{a}ncia de m\'{a}xima 
aproxim\c{c}\~{a}o da \'{o}rbita descrita no enunciado.

\end{itemize}
\end{QstsFig}

\vspace{22cm}

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\vspace{2mm}

$ \bf \frac {\mat{\alpha}}{r}\,=\,1\,+\,\mat{\epsilon} \cos \mat{\theta} $ \ \ \ \ \ \ \  $\bf  \mat{\alpha} \,=\,\frac {l^2}{\mat{\mu}k}$ \ \ \ \ \ \ \  
$\bf \mat{\epsilon} \,=\,\sqrt {1\,+\,\frac {2El^2}{\mat{\mu}k^2}}$

\end{document}



