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22 de janeiro de 2015  P rec

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

Aviso : dê suas respostas apenas em função dos dados do problema 1– (2.0) Um corpo de massa m é lançado para baixo, no campo gravitacional, com velocidade v_{o}. A força de

resistência do ar é proporcional a velocidade ( tipo mkv ).

• (0.5) a) escreva a equação do movimento;

• (1.5) b) obtemha a expressão para a velodade e determine a velocidade terminal.

.

2– (1.0) Um inseto de massa m desloca-se com velocidade v⃗_{o} sobre a diagonal de um quadrado que gira com velocidade angular ω em torno do eixo Z, como mostra a figura. O sistama de coordenadas X, Y, Z está fixo no quadrado.

• (1.0) a) Obtenha a fôrça de Coriolis F⃗_{cor} e a fôrça centrifuga F⃗_{centrif} sobre o inseto no referencial girante.

3– (1.5) A equação logística de um sistema é dada por x_{n+1} = 3.1x_{n} (1 − x_{n})

• (0.5) a) O sistema é caótico ou não? Justifique.

• (0.5) b) Se não é para que valores converge?

• (0.5) c) Determine o coeficiente de Lyapunov.

.

4– (3.5) Um corpo de massa m é lançado com velocidade angular ω⃗ = ω_{o} k⃗ no interior de uma superfície

cilíndrica de raio R . O eixo de simetria do cilindro coincide com o eixo Z. Obtenha: • (0.5) a) a(s) função(ões) do(s) vínculo(s) e quantos graus de liberdade tem este sistema;

• (1.0) b) a lagrangeana deste sistema;

• (1.0) c) a(s) equação(ões) do movimento;

• (1.0) d) a(s) fôrça(as) de vínculo.

.

5– (2.5) Um corpo celeste entra no sistema solar numa órbita hiperbólica de excentricidade ϵ = \frac{3}{2} e com distância de máxima aproximação igual a R . Num dado instante, o corpo perde o dobro de sua energia, mas mantém na nova órbita sua distância de máxima aproximação. Obtenha:

• (1.0) a) a energia, o momento angular da óbta hiperbólica;

• (1.5) b) a excentricidade da nova órbita e se for o caso a distância de mínima aproximação.

. a⃗ = a⃗′ − 2 ω⃗ × v⃗ − ω⃗ × ω⃗ × r⃗

\frac{α}{r} = 1 + ϵ cos θ  α = \frac{l^{2}}{μk}  ϵ = \sqrt{1 + \frac{2El^{2}}{μk^{2}}}