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\newcommand{\mat}[1]{\mbox{\boldmath{$#1$}}} 

% ------------ usar para negrito letra grega  --- $\mat{\tau}$ ------

\begin{document}

\Prova{rec}{22 de janeiro  de 2015}

\hrulefill

{\bf Aviso : d\^{e} suas respostas apenas em fun\c{c}\~{a}o dos dados do problema}

\hrulefill
\begin{QstsFig}\ (2.0) Um corpo de massa $\,\bf  m\,$ \'{e} lan\c{c}ado  para baixo, no campo gravitacional, com velocidade $\,\bf  v_{o}$. A for\c{c}a de 
resist\^{e}ncia do ar \'{e} proporcional a velocidade ( tipo mkv ).  

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) escreva a equa\c{c}\~{a}o do movimento;
\item{(1.5)}  b) obtemha a express\~{a}o para a velodade e determine a velocidade terminal.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

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.

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\begin{QstcFig}{formiga.eps}\ (1.0) Um inseto de massa $\,\bf  m\,$ desloca-se com velocidade ${\mat{\vec v}}_{\bf o}$  sobre a diagonal de  um quadrado que gira com 
velocidade angular ${\mat{\omega}}$ em torno do eixo $\,\bf  Z$, como mostra a figura. O sistama de coordenadas  $\,\bf  X, Y, Z\,$ est\'{a} fixo no quadrado.

\begin{itemize}
\item{(1.0)}  a) Obtenha a f\^{o}r\c{c}a de Coriolis ${\mat{\vec F}_{cor}}$ e a f\^{o}r\c{c}a centrifuga ${\mat{\vec F}_{centrif}}$  sobre o inseto no referencial girante.
\end{itemize}
\end{QstcFig}

\vspace{10cm}

\begin{QstsFig}\ (1.5) A equa\c{c}\~{a}o log\'{\i}stica de um sistema \'{e} dada por $\,\bf  x_{n+1}\,=\,3.1 x_{n}\,(1\,-\,x_{n})$

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) O sistema \'{e} ca\'{o}tico ou n\~{a}o? Justifique.
\item{(0.5)}  b) Se n\~{a}o \'{e} para que valores converge?
\item{(0.5)}  c) Determine o coeficiente de Lyapunov.
\end{itemize}
\end{QstsFig}


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\begin{QstsFig}\ (3.5) Um corpo de massa $\,\bf  m\,$ \'{e} lan\c{c}ado com velocidade angular ${\mat{\vec \omega}}\,=\,\mat{\omega_o}\,{\mat{\vec k}}$ no interior de 
uma superf\'{\i}cie cil\'{\i}ndrica de raio $\,\bf  R\,$. O eixo de simetria do cilindro coincide com o eixo $\,\bf  Z$. Obtenha:

\begin{itemize}
\item{(0.5)}  a) a(s) fun\c{c}\~{a}o(\~{o}es) do(s) v\'{\i}nculo(s) e quantos graus de liberdade  tem este sistema; 
\item{(1.0)}  b) a lagrangeana deste sistema;
\item{(1.0)}  c) a(s) equa\c{c}\~{a}o(\~{o}es) do movimento;
\item{(1.0)}  d) a(s) f\^{o}r\c{c}a(as) de v\'{\i}nculo.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

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.

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\begin{QstsFig}\ (2.5) Um corpo celeste entra no sistema solar numa \'{o}rbita hiperb\'{o}lica de excentricidade $\bf  \mat{\epsilon} \,=\,\frac {3}{2}$ e 
com dist\^{a}ncia de m\'{a}xima aproxima\c{c}\~{a}o igual a $\,\bf  R\,$. Num dado instante, o corpo perde o dobro de sua energia, mas 
mant\'{e}m na nova \'{o}rbita sua dist\^{a}ncia de m\'{a}xima aproxima\c{c}\~{a}o. Obtenha: 


\begin{itemize}
\item{(1.0)}  a) a energia, o momento angular da \'{o}bta hiperb\'{o}lica;
\item{(1.5)}  b) a excentricidade da nova \'{o}rbita e se for o caso a dist\^{a}ncia de m\'{\i}nima aproxima\c{c}\~{a}o.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

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\vspace{2mm}

${\mat{\vec {a}}\,=\,{\mat{\vec {a'}}\,-2\,{\mat{\vec \omega}}\times {\mat{\vec v}}\,-\,{\mat{\vec \omega}}\times {\mat{\vec\omega}}\times {\mat{\vec r}}$

\vspace{2mm}

$ \bf \frac {\mat{\alpha}}{r}\,=\,1\,+\,\mat{\epsilon} \cos \mat{\theta} $ \ \ \ \ \ \ \  $\bf  \mat{\alpha} \,=\,\frac {l^2}{\mat{\mu}k}$ \ \ \ \ \ \ \  
$\bf \mat{\epsilon} \,=\,\sqrt {1\,+\,\frac {2El^2}{\mat{\mu}k^2}}$

\vspace{2mm}

$\bf 

\vspace{2cm}

\noindent \includegraphics[width=10cm]{bifur.eps}

\noindent \includegraphics[width=10cm]{Lyapunov.eps}

\end{document}



