\documentclass[dvips,11pt]{article}
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\begin{document}

\Prova{rec}{22 de fevereiro de 2007}

\vspace{5mm}

\noindent {\Large \bf  Nome :} \ \hrulefill \ \  {\Large \bf   No.  USP : \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }

\hrulefill

\vspace{2mm}

 \begin{QstsFig} \ Um  corpo de  massa $\,\bf  m\,$ desce um plano inclinado de um \^{a}ngulo
 $\,\bf \alpha \,$, a partir do repouso. A f\^{o}r\c{c}a de atrito entre
  o  corpo e a  superf\'{\i}cie  \'{e} proporcional \`{a}  velocidade (  tipo $\,\bf  mkv\,$ ).

 \begin{itemize}
\item{(1.0)}  a)  Determine a express\~{a}o para a velocidade $\,\bf  v(t)\,$ do corpo.
\item{(0.5)}  b)  Determine a  velocidade  terminal do corpo.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

\begin{QstsFig} \ Um  corpo de  massa $\,\bf  m\,$  est\'{a} se movimentando na superf\'{\i}cie
da Terra ( suponha $\,\bf  \omega  $ a velocidade angular da Terra ), em uma trajet\'{o}ria circular 
de latitude  $\,\bf  \alpha $, com velocidade $\,\bf  v_{o}\,$ em rela\c{c}\~{a}o \`{a} Terra ( no sentido 
da rota\c{c}\~{a}o da Terra ).  Determine no referencial da Terra:

 \begin{itemize}
\item{(0.5}  a)  a  f\^{o}r\c{c}a  de Coriolis sobre o corpo;
\item{(0,5}  a)  a  f\^{o}r\c{c}a centr\'{\i}fuga  sobre o corpo;
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\newpage

\begin{QstsFig} \ (1.0) Um sistema \'{e} descrito pala equa\c{c}\~{a}o log\'{\i}stica
$\,\bf  x_{n+1}\,=\,\alpha x_{n}\, (\,1\,-\,x_{n})$. O gr\'{a}fico abaixo representa esta equa\c{c}\~{a}o,
para um  certo valor  de $\,\bf  \alpha $.

\begin{itemize}
\item {(0.5)}  a)  O sistema \'{e} ca\'{o}tico ?
\item {(0.5)}  b)  Qual o valor  de  $\,\bf  \alpha $ e do  coeficiente de Lyapunov, nesse caso.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\begin{center}

\includegraphics[width=15cm]{Q3rebump.ps}

\end{center}

\newpage

\includegraphics[width=20cm]{Q3rec.ps}

\newpage

 \begin{QstcFig}{Q4re.eps} \ Um  corpo de  massa $\,\bf  m\,$  \'{e} lan\c{c}ado no interior de uma
 superf\'{\i}cie cil\'{\i}ndrica de raio $\,\bf  R\,$  com velocidade angular  $\,\bf  \omega _{o} \,\vec {k} $.
 O corpo est\'{a} no campo gravitacional. Determine :

 \begin{itemize}
\item{(0.5)}  a)  a lagrangeana do sistema;
\item{(0.5)}  b) a fun\c{c}\~{a}o do v\'{\i}nculo;
\item{(1.0)}  c) as equa\c{c}\~{o}es do movimento;
\item{(1.0)} d) as f\^{o}r\c{c}as do v\'{\i}nculo.
\end{itemize}
\end{QstcFig}


\newpage


\begin{QstsFig}\  Um corpo celeste de massa $\,\bf  m_{1}\,$  est\'{a} sob a a\c{c}\~{a}o da for\c{c}a
gravitacional de outro corpo de massa $\,\bf  m_{2}\,$. A for\c{c}a entre os corpos \'{e} dada por
$\,\bf  F(r)\,=\,-\,\frac {k}{r^2} \,$  ($\,\bf  k\,=\,Gm_{1}m_{2}\,$).

 \begin{itemize}
\item {0.5}  a)  Qual a massa reduzida do sistema?
\item{ 0.5}  b)  Escreva a energia mec\^{a}nica e mostre que o potencial efetivo  \'{e}

\begin{center}
$\bf V_{ef}\,=\,\frac{\L^2 }{2\mu r^2}\,-\,\frac {k}{r} $
\end{center}

\item {1.0}  c)  Fa\c{c}a um esbo\c{c}o do gr\'{a}fico do potencial efetivo e deternine os
poss\'{\i}veis movimentos do corpo.
\item {1.0}  d)  Para energia mec\^{a}nica  $\,\bf  E\,=\,-\,\frac {3\mu k^2}{8L^2}$, determine a 
 excentricidade da \'{o}rbita e a dist\^{a}ncia de m\'{a}xima aproxima\c{c}\~{a}o.
\end{itemize}
\end{QstsFig}

\noindent Dados : $\bf \frac {\alpha }{r}\,=\,1\,+\,\epsilon\,\cos \theta$, $\bf \alpha \,=\,\frac {L^2}{\mu\,k}$,
$\bf  \epsilon \,=\,\sqrt {1\,+\,\frac {2EL^2}{\mu\,k^2}}$.


\end{document}

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\noindent Dados : $\bf \frac {\alpha }{r}\,=\,1\,+\,\epsilon\,\cos \theta$, $\bf \alpha \,=\,\frac {l^2}{\mu\,k}$,
$\bf  \epsilon \,=\,\sqrt {1\,+\,\frac {2El^2}{\mu\,k^2}}$.

\begin{QstsFig}\  Um corpo de massa $\,\bf  m\,$  est\'{a} sob a a\c{c}\~{a}o da for\c{c}a
$\,\bf  F(r)\,=\,-\,\frac {k}{r^2} \,-\,\frac {\lambda }{r^3}$.  O momento angular do corpo
\'{e}   $\,\bf  l\,=\,\sqrt {2m\lambda }\,$.

 \begin{itemize}
\item {0.5}  a)  Determine a energia potencial $\,\bf  V(r) $ do corpo.
\item{ 0.5}  b)  Escreva a energia mec\^{a}nica e mostre que o potencial efetivo para esse corpo \'{e}

\begin{center}
$\bf V_{ef}\,=\,\frac{\lambda }{2r^2}\,-\,\frac {k}{r} $
\end{center}

\item {1.0}  c)  Fa\c{c}a um esbo\c{c}o do gr\'{a}fico do potencial efetivo e deternine os
poss\'{\i}veis movimentos do corpo.
\item {1.0}  d)  Calcule o raio da \'{o}rbita circular.
\end{itemize}
\end{QstsFig}


\newpage








