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FMT0458

25 de novembro de 2008  P 3

Complementos de Mecânica Clássica

Nome:  n\underline{o} USP

1– Um pêndulo é constituido por uma massa m suspensa em um fio de comprimento l, no campo gravitacional. O pêndulo está preso a um pequeno anel sem massa, que desliza sem atrito com aceleração α em uma haste horizontal (eixo x).

• (0.5) a) Existe algum vínculo? Qual a função do vínculo? Quantos graus de liberdade tem o sistema?

• (1.0) b) Escreva a lagrangeana do sistema.

• (1.5) c) Obtenha a(s) equação(ões) do movimento e a posição de equilíbrio do pêndulo.

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2– Um cilindro de massa m e raio R ( I = \frac{1}{2} mR^{2} ) está preso a uma das extremidades de uma mola de constante elástica k e a outra extremidade da mola está presa em uma parede vertical. O cilindro pode rolar, sem deslizar, na horizontal.

• (0.5) a) Existe algum vínculo? Qual a função do vínculo? Quantos graus de liberdade tem o sistema?

• (0.5) b) Escreva a lagrangeana do sistema.

• (1.0) c) Obtenha a(s) equação(ões) do movimento e a frequência de oscilação do sistema.

• (1.5) d) Obtenha a(s) a(s) fôrça(s) do vínculo.

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3– Um corpo de massa m tem energia potencial dada por U(r) = − \frac{α}{r^{2}} − \frac{A}{r}. Em um dado instante, sabe-se que a corpo tem momento angular l_{o}.

• (0.5) a) Escreva a lagrangeana para a corpo e mostre que sua energia mecânica é

E = \frac{1}{2} mṙ^{2} + \frac{l_{o}^{2} − 2mα}{2mr^{2}} − \frac{A}{r} e que seu potencial efetivo é U_{ef}(r) = \frac{l_{o}^{2} − 2mα}{2mr^{2}} − \frac{A}{r}.

• (1.5) b) Faça um esboço do gráfico do potencial efetivo e analise os possíveis tipos de movimento.

• (1.0) c) Qual o raio da órbita cirular estável, sua energia mecânica e sua velocidade angular.

• (0.5) d) Supondo m = 1 kg, α = 1 joules.m^{2}, l_{o} = 2 joules.kg.m^{2} e A = 1 joules.m, determine a distância de máxima aproximação quando a energia mecânica do corpo for E = 2 joules.